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Tiếng ViệtFractalesIntroduction
En regardant autour de la nature, vous avez peut-être remarqué des plantes complexes comme celles-ci:
Cette fougère se compose de nombreuses petites feuilles qui se ramifient en une plus grande.
Ce brocoli Romanesco consiste en de plus petits
Au départ, elles ressemblent à des formes très complexes - mais en y regardant de plus près, vous remarquerez peut-être qu'elles suivent toutes les deux un schéma relativement simple: toutes les parties individuelles des plantes ont exactement la même apparence que l'ensemble plante, juste plus petite. Le même schéma se répète encore et encore, à des échelles plus petites.
En mathématiques, nous appelons cette propriété auto-similitude, et les formes qui en sont appelées
Pour créer nos propres fractales, nous devons commencer par un motif simple, puis le répéter encore et encore, à des échelles plus petites.
L'un des modèles les plus simples pourrait être un segment de ligne, avec deux segments supplémentaires se ramifiant à une extrémité. Si nous répétons ce modèle, ces deux segments bleus auront également deux autres branches à leurs extrémités.
Vous pouvez déplacer les points bleus pour modifier la longueur et l'angle de toutes les branches. Augmentez ensuite le nombre d'itérations en utilisant
Selon la position des branches, vous pouvez créer des motifs complètement différents - ressemblant à la ci-dessus, à un ou . Que pouvez-vous trouver d'autre?
Une autre fractale célèbre est le
Remarquez comment la forme finale est composée de trois copies identiques d'elle-même, et chacune d'elles est constituée de copies encore plus petites de tout le triangle! Vous pouvez continuer à zoomer dans le triangle pour toujours et les motifs et les formes continueront toujours à se répéter.
Les plantes au début de ce chapitre ressemblent à des fractales, mais il est clairement impossible de créer de véritables fractales dans la vie réelle. Si nous continuons à répéter le même modèle encore et encore, de plus en plus petit, nous finirions par arriver à des cellules, des molécules ou des atomes qui ne peuvent plus être divisés.
Cependant, en utilisant les mathématiques, nous pouvons penser aux propriétés que les vraies fractales «auraient» - et elles sont très surprenantes…
Dimensions fractales
Tout d'abord, réfléchissons à la dimension des fractales. Une ligne a la dimension
Un carré a la dimension
Un cube a la dimension
Voyons maintenant le triangle de Sierpinski. Si nous la mettons à l'échelle par un facteur de 2, vous pouvez voir que sa «surface» augmente d'un facteur de
Disons que d est la dimension du triangle de Sierpinski. En utilisant le même modèle que ci-dessus, nous obtenons
Mais attendez… comment quelque chose peut-il avoir une dimension qui n'est pas un entier? Cela semble impossible, mais ce n'est qu'une des propriétés étranges des fractales. En fait, c'est ce qui donne leur nom aux fractales: elles ont une dimension fractionnelle.
À chaque itération, nous supprimons une partie de l'aire du triangle de Sierpinski. Si nous pouvions faire cela infiniment de fois, il n'y aurait en fait plus de zone: c'est pourquoi le triangle de Sierpinski est quelque chose entre une zone à 2 dimensions et une ligne à 1 dimension.
Alors que de nombreuses fractales sont auto-similaires, une meilleure définition est que les fractales sont des formes qui ont une dimension non entière.
Le flocon de neige de Koch
Il existe de nombreuses formes dans la nature qui ressemblent à des fractales. Nous avons déjà vu quelques plantes au début de ce chapitre. D'autres grands exemples sont les flocons de neige et les cristaux de glace:
Pour créer notre propre flocon de neige fractal, nous devons encore une fois trouver une procédure simple que nous pouvons appliquer encore et encore.
Comme le triangle de Sierpinski, commençons par un seul triangle équilatéral. Cependant, au lieu de supprimer des triangles plus petits à chaque étape, nous ajoutons des triangles plus petits le long du bord. La longueur latérale de chaque triangle est
La forme résultante est appelée
Lorsque nous redimensionnons un segment de bord du flocon de neige de Koch d'un facteur 3, sa longueur
En utilisant la même relation entre les dimensions et les facteurs d'échelle que ci-dessus, nous obtenons l'équation
Zone
La création des flocons de neige de Koch est presque comme une
Après la première itération, le nombre de nouveaux triangles ajoutés augmente d'un facteur
Supposons que le
En utilisant la formule pour la somme des
Périmètre
Nous pouvons également essayer de calculer le périmètre du flocon de neige de Koch. Comme nous l'avons déjà vu précédemment, la longueur du périmètre change d'un facteur de
Cela signifie que, encore une fois, nous avons une série géométrique, mais dans ce cas, elle
Si cela semble contre-intuitif, n'oubliez pas que nous multiplions le périmètre par
Il est presque impensable que vous puissiez avoir une forme avec une zone finie et également une circonférence infinie - mais ce n'est là qu'une des nombreuses propriétés inattendues des fractales.
Pouvez-vous trouver d'autres façons de créer vos propres fractales?
"Mon âme est en spirale sur des fractales gelées tout autour ..."
Éponge Menger
Les fractales n'ont pas à être «plates», comme la plupart des exemples ci-dessus. L'une des fractales les plus célèbres à l'aspect tridimensionnel est la éponge de Menger, du nom du mathématicien
Nous commençons avec un cube solide et nous forons à plusieurs reprises des trous de plus en plus petits dans ses côtés. Chaque nouvelle itération de trous a
Un
Maintenant, nous pouvons essayer de calculer la dimension d de l'éponge Menger comme nous l'avons fait pour le flocon de neige Koch ci-dessus. Dans ce cas, nous obtenons
Si vous imaginez découper de plus en plus de trous, infiniment de fois, il n'y aurait plus de volume réel. C’est pourquoi le cube n’est «pas tout à fait» tridimensionnel!
Littoral fractal
L'une des principales caractéristiques de toutes les fractales que nous avons vues jusqu'à présent est que vous pouvez «zoomer» pour toujours et toujours trouver de nouveaux motifs. Vers 1920, le mathématicien britannique
Vous commencez par la forme de base du pays et, en zoomant, vous ajoutez des criques, des baies et des estuaires, puis des falaises individuelles, des rochers, des cailloux, etc.:
Il s'agit d'un problème important lorsque vous essayez de calculer la longueur de la frontière d'un pays - comment décidez-vous de la distance de zoom et quels sont les coins et recoins à inclure?
Une façon de mesurer la longueur du littoral britannique, par exemple, consiste à prendre une longue règle, à faire le tour de ses plages, puis à additionner toutes les distances.
Si la règle mesure
Nous pouvons simplement continuer, avec des dirigeants de plus en plus petits, et chaque fois notre résultat sur la longueur du littoral deviendrait un peu plus long. Tout comme le flocon de neige de Koch auparavant, il semble que le littoral britannique soit infiniment long! C'est ce qu'on appelle souvent le paradoxe du littoral.
Quelques décennies plus tard, le mathématicien
Le littoral de la Grande-Bretagne "ressemble" certainement à une fractale, mais il n'est pas auto-similaire, comme d'autres fractales que nous avons vues auparavant. Afin de trouver sa taille, nous pouvons le dessiner sur une grille et compter le nombre de cellules qu'il recoupe.
Initialement, il y a 88 cellules qui se croisent. Si nous redimensionnons le littoral par un facteur 2, il y a 197 cellules qui se croisent - plus du double!
La taille du littoral a été multipliée par
Si nous répétons cela avec des grilles plus grandes, nous trouverions que la dimension du littoral britannique est en fait d'environ 1,21. Mandelbrot s'est rendu compte que cette dimension fractale est également une mesure de la rugosité d'une forme - un nouveau concept, pour lequel il a trouvé des applications importantes dans de nombreux autres domaines des mathématiques et des sciences.
Plus de fractales dans la nature et la technologie
Bien que les vraies fractales ne puissent jamais apparaître dans la nature, il existe de nombreux objets qui ressemblent presque à des fractales. Nous avons déjà vu des plantes, des flocons de neige et des côtes, et voici quelques autres exemples:
Chaîne de montagnes d'Asie centrale
Delta du Gange en Inde
éclairs
Vaisseaux sanguins dans la rétine
Grand Canyon aux États-Unis
Nuages
Tous ces objets peuvent sembler complètement aléatoires, mais, tout comme les fractales, il existe un motif sous-jacent qui détermine la façon dont ils sont formés. Les mathématiques peuvent nous aider à mieux comprendre les formes et les fractales ont des applications dans des domaines comme la médecine, la biologie, la géologie et la météorologie.
Terrain fractal généré par ordinateur
Nous pouvons également utiliser des fractales pour créer des «copies» réalistes de la nature, par exemple, comme des paysages et des textures utilisés dans des jeux vidéo ou des films générés par ordinateur. L'eau, les montagnes et les nuages dans cette image sont entièrement créés par un ordinateur, à l'aide de fractales!
Et nous pouvons même inverser ce processus pour compresser des images numériques, pour réduire leur taille de fichier. Les premiers algorithmes ont été développés par Michael Barnsley et Alan Sloan dans les années 1980, et de nouveaux sont encore à l'étude aujourd'hui.