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FractalesIntroduction

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En regardant autour de la nature, vous avez peut-être remarqué des plantes complexes comme celles-ci:

Cette fougère se compose de nombreuses petites feuilles qui se ramifient en une plus grande.

Ce brocoli Romanesco consiste en de plus petits en spirale autour d'un plus gros.

Au départ, elles ressemblent à des formes très complexes - mais en y regardant de plus près, vous remarquerez peut-être qu'elles suivent toutes les deux un schéma relativement simple: toutes les parties individuelles des plantes ont exactement la même apparence que l'ensemble plante, juste plus petite. Le même schéma se répète encore et encore, à des échelles plus petites.

En mathématiques, nous appelons cette propriété auto-similitude, et les formes qui en sont appelées fractales. Ils font partie des objets les plus beaux et les plus bizarres de toutes les mathématiques.

Pour créer nos propres fractales, nous devons commencer par un motif simple, puis le répéter encore et encore, à des échelles plus petites.

L'un des modèles les plus simples pourrait être un segment de ligne, avec deux segments supplémentaires se ramifiant à une extrémité. Si nous répétons ce modèle, ces deux segments bleus auront également deux autres branches à leurs extrémités.

Vous pouvez déplacer les points bleus pour modifier la longueur et l'angle de toutes les branches. Augmentez ensuite le nombre d'itérations en utilisant le curseur ci-dessous.

Selon la position des branches, vous pouvez créer des motifs complètement différents - ressemblant à la ci-dessus, à un ou . Que pouvez-vous trouver d'autre?

Une autre fractale célèbre est le triangle de Sierpinski. Dans ce cas, nous commençons par un grand triangle équilatéral, puis nous coupons à plusieurs reprises de plus petits triangles des parties restantes.

Remarquez comment la forme finale est composée de trois copies identiques d'elle-même, et chacune d'elles est constituée de copies encore plus petites de tout le triangle! Vous pouvez continuer à zoomer dans le triangle pour toujours et les motifs et les formes continueront toujours à se répéter.

Les plantes au début de ce chapitre ressemblent à des fractales, mais il est clairement impossible de créer de véritables fractales dans la vie réelle. Si nous continuons à répéter le même modèle encore et encore, de plus en plus petit, nous finirions par arriver à des cellules, des molécules ou des atomes qui ne peuvent plus être divisés.

Cependant, en utilisant les mathématiques, nous pouvons penser aux propriétés que les vraies fractales «auraient» - et elles sont très surprenantes…

Dimensions fractales

Tout d'abord, réfléchissons à la dimension des fractales. Une ligne a la dimension . Lors de sa mise à l'échelle d'un facteur 2, sa longueur augmente d'un facteur 21=2. Évidemment!

Un carré a la dimension . Lors de sa mise à l'échelle d'un facteur 2, sa surface augmente d'un facteur 22= .

Un cube a la dimension . Lorsque vous le redimensionnez d'un facteur 2, son volume augmente d'un facteur 23= . Notez que le plus grand cube de l'image se compose de 8 exemplaires du plus petit!

Voyons maintenant le triangle de Sierpinski. Si nous la mettons à l'échelle par un facteur de 2, vous pouvez voir que sa «surface» augmente d'un facteur de .

Disons que d est la dimension du triangle de Sierpinski. En utilisant le même modèle que ci-dessus, nous obtenons 2d=3. En d'autres termes, d = ≈ 1,585…

Mais attendez… comment quelque chose peut-il avoir une dimension qui n'est pas un entier? Cela semble impossible, mais ce n'est qu'une des propriétés étranges des fractales. En fait, c'est ce qui donne leur nom aux fractales: elles ont une dimension fractionnelle.

À chaque itération, nous supprimons une partie de l'aire du triangle de Sierpinski. Si nous pouvions faire cela infiniment de fois, il n'y aurait en fait plus de zone: c'est pourquoi le triangle de Sierpinski est quelque chose entre une zone à 2 dimensions et une ligne à 1 dimension.

Alors que de nombreuses fractales sont auto-similaires, une meilleure définition est que les fractales sont des formes qui ont une dimension non entière.

Le flocon de neige de Koch

Il existe de nombreuses formes dans la nature qui ressemblent à des fractales. Nous avons déjà vu quelques plantes au début de ce chapitre. D'autres grands exemples sont les flocons de neige et les cristaux de glace:

Pour créer notre propre flocon de neige fractal, nous devons encore une fois trouver une procédure simple que nous pouvons appliquer encore et encore.

Comme le triangle de Sierpinski, commençons par un seul triangle équilatéral. Cependant, au lieu de supprimer des triangles plus petits à chaque étape, nous ajoutons des triangles plus petits le long du bord. La longueur latérale de chaque triangle est des triangles de l'étape précédente.

La forme résultante est appelée flocon de neige de Koch, du nom du mathématicien suédois Helge von Koch. Notez, encore une fois, que les petites sections du bord du flocon de neige sont exactement les mêmes que les sections plus grandes.

Lorsque nous redimensionnons un segment de bord du flocon de neige de Koch d'un facteur 3, sa longueur .

En utilisant la même relation entre les dimensions et les facteurs d'échelle que ci-dessus, nous obtenons l'équation . Cela signifie que la dimension du flocon de neige de Koch est d=log341.262.

Zone

La création des flocons de neige de Koch est presque comme une séquence récursive: nous connaissons la forme de départ (un triangle), et nous savons comment passer d'un terme à l'autre (en ajoutant plus de triangles sur chaque bord):

nouveaux triangles

nouveaux triangles

nouveaux triangles

Après la première itération, le nombre de nouveaux triangles ajoutés augmente d'un facteur à chaque étape. En même temps, l'aire de ces nouveaux triangles diminue d'un facteur à chaque pas.

Supposons que le premier triangle ait une aire de 1. Alors l'aire totale des trois triangles suivants est 3×19=13. Les étapes suivantes forment toutes une , avec un rapport commun .

En utilisant la formule pour la somme des séries géométriques infinies, nous pouvons calculer que l'aire totale du flocon de neige de Koch est

A=1+13×1=85=1.6.

Périmètre

Nous pouvons également essayer de calculer le périmètre du flocon de neige de Koch. Comme nous l'avons déjà vu précédemment, la longueur du périmètre change d'un facteur de à chaque étape.

Cela signifie que, encore une fois, nous avons une série géométrique, mais dans ce cas, elle . Cela signifie que le périmètre du flocon de neige de Koch est en fait infiniment long!

Si cela semble contre-intuitif, n'oubliez pas que nous multiplions le périmètre par 43 à chaque étape, et nous le faisons infiniment de fois.

Il est presque impensable que vous puissiez avoir une forme avec une zone finie et également une circonférence infinie - mais ce n'est là qu'une des nombreuses propriétés inattendues des fractales.

Pouvez-vous trouver d'autres façons de créer vos propres fractales?

"Mon âme est en spirale sur des fractales gelées tout autour ..."

Éponge Menger

Les fractales n'ont pas à être «plates», comme la plupart des exemples ci-dessus. L'une des fractales les plus célèbres à l'aspect tridimensionnel est la éponge de Menger, du nom du mathématicien Karl Menger qui l'a décrite pour la première fois en 1926.

Nous commençons avec un cube solide et nous forons à plusieurs reprises des trous de plus en plus petits dans ses côtés. Chaque nouvelle itération de trous a la largeur de l'itération précédente de trous.

Un 3×3×3 cube se compose de 27 cubes plus petits, mais ici nous en avons retiré certains. L'éponge Menger se compose de copies d'elle-même, qui sont 3 fois plus petites.

Maintenant, nous pouvons essayer de calculer la dimension d de l'éponge Menger comme nous l'avons fait pour le flocon de neige Koch ci-dessus. Dans ce cas, nous obtenons 3d=20 ou d=log3202.727.

Si vous imaginez découper de plus en plus de trous, infiniment de fois, il n'y aurait plus de volume réel. C’est pourquoi le cube n’est «pas tout à fait» tridimensionnel!

Littoral fractal

L'une des principales caractéristiques de toutes les fractales que nous avons vues jusqu'à présent est que vous pouvez «zoomer» pour toujours et toujours trouver de nouveaux motifs. Vers 1920, le mathématicien britannique Lewis Fry Richardson s'est rendu compte qu'il en allait de même pour la frontière ou le littoral de nombreux pays.

Vous commencez par la forme de base du pays et, en zoomant, vous ajoutez des criques, des baies et des estuaires, puis des falaises individuelles, des rochers, des cailloux, etc.:

Il s'agit d'un problème important lorsque vous essayez de calculer la longueur de la frontière d'un pays - comment décidez-vous de la distance de zoom et quels sont les coins et recoins à inclure?

Une façon de mesurer la longueur du littoral britannique, par exemple, consiste à prendre une longue règle, à faire le tour de ses plages, puis à additionner toutes les distances.

Si la règle mesure ${rulers[index]} km de long, nous devons l'utiliser ${count} fois, nous obtenons donc un littoral total de ${count} × ${rulers[index]} = ${count * rulers[index]} km.

Nous pouvons simplement continuer, avec des dirigeants de plus en plus petits, et chaque fois notre résultat sur la longueur du littoral deviendrait un peu plus long. Tout comme le flocon de neige de Koch auparavant, il semble que le littoral britannique soit infiniment long! C'est ce qu'on appelle souvent le paradoxe du littoral.

Quelques décennies plus tard, le mathématicien Benoit Mandelbrot est tombé sur le travail de Richardson dans un livre de bibliothèque jeté, alors qu'il travaillait chez IBM. Il a reconnu son importance et son lien avec les recherches plus récentes sur les fractales et les dimensions.

Le littoral de la Grande-Bretagne "ressemble" certainement à une fractale, mais il n'est pas auto-similaire, comme d'autres fractales que nous avons vues auparavant. Afin de trouver sa taille, nous pouvons le dessiner sur une grille et compter le nombre de cellules qu'il recoupe.

Initialement, il y a 88 cellules qui se croisent. Si nous redimensionnons le littoral par un facteur 2, il y a 197 cellules qui se croisent - plus du double!

La taille du littoral a été multipliée par 19788. Comme précédemment, cela signifie que la dimension du littoral est

d=log2197881.16

Si nous répétons cela avec des grilles plus grandes, nous trouverions que la dimension du littoral britannique est en fait d'environ 1,21. Mandelbrot s'est rendu compte que cette dimension fractale est également une mesure de la rugosité d'une forme - un nouveau concept, pour lequel il a trouvé des applications importantes dans de nombreux autres domaines des mathématiques et des sciences.

Plus de fractales dans la nature et la technologie

Bien que les vraies fractales ne puissent jamais apparaître dans la nature, il existe de nombreux objets qui ressemblent presque à des fractales. Nous avons déjà vu des plantes, des flocons de neige et des côtes, et voici quelques autres exemples:

Chaîne de montagnes d'Asie centrale

Delta du Gange en Inde

éclairs

Vaisseaux sanguins dans la rétine

Grand Canyon aux États-Unis

Nuages

Tous ces objets peuvent sembler complètement aléatoires, mais, tout comme les fractales, il existe un motif sous-jacent qui détermine la façon dont ils sont formés. Les mathématiques peuvent nous aider à mieux comprendre les formes et les fractales ont des applications dans des domaines comme la médecine, la biologie, la géologie et la météorologie.

Terrain fractal généré par ordinateur

Nous pouvons également utiliser des fractales pour créer des «copies» réalistes de la nature, par exemple, comme des paysages et des textures utilisés dans des jeux vidéo ou des films générés par ordinateur. L'eau, les montagnes et les nuages dans cette image sont entièrement créés par un ordinateur, à l'aide de fractales!

Et nous pouvons même inverser ce processus pour compresser des images numériques, pour réduire leur taille de fichier. Les premiers algorithmes ont été développés par Michael Barnsley et Alan Sloan dans les années 1980, et de nouveaux sont encore à l'étude aujourd'hui.

Archie