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FractalesLe triangle Sierpinski

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L'une des fractales que nous avons vues dans le chapitre précédent était le triangle de Sierpinski, qui doit son nom au mathématicien polonais Wacław Sierpiński. Il peut être créé en commençant par un grand triangle équilatéral, puis en coupant plusieurs fois de plus petits triangles hors de son centre.

Wacław Sierpiński a été le premier mathématicien à réfléchir aux propriétés de ce triangle, mais il est apparu plusieurs siècles plus tôt dans les œuvres d'art, les motifs et les mosaïques.

Voici quelques exemples de pavages de sol de différentes églises à Rome:

Il s'avère que le triangle de Sierpinski apparaît dans un large éventail d'autres domaines des mathématiques, et il existe de nombreuses façons de le générer. Dans ce chapitre, nous en explorerons certains!

Triangle de Pascal

Vous vous souvenez peut-être déjà du triangle de Sierpinski dans notre chapitre sur le triangle de Pascal. Il s'agit d'une pyramide numérique dans laquelle chaque nombre est la somme des deux nombres ci-dessus. Appuyez sur tous les nombres pairs dans le triangle ci-dessous, pour les mettre en surbrillance - et voyez si vous remarquez un motif:

1
1
1
1
2
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1
3
3
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6
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5
10
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35
35
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7
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56
70
56
28
8
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84
126
126
84
36
9
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45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
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66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1
1
17
136
680
2380
6188
12376
19448
24310
24310
19448
12376
6188
2380
680
136
17
1
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18
153
816
3060
8568
18564
31824
43758
48620
43758
31824
18564
8568
3060
816
153
18
1

Le triangle de Pascal peut être poursuivi vers le bas pour toujours, et le motif Sierpinski continuera avec des triangles de plus en plus gros. Vous pouvez déjà voir le début d'un triangle encore plus grand, à partir de la ligne 16.

Si deux cellules adjacentes sont divisibles par 2, alors leur somme dans la cellule en dessous doit également être divisible par 2 - c'est pourquoi nous ne pouvons obtenir que des triangles colorés (ou des cellules simples). Bien sûr, nous pouvons également essayer de colorer toutes les cellules divisibles par des nombres autres que 2. Que pensez-vous qu'il se passera dans ces cas?

Divisible by ${n}:

Ici, vous pouvez voir une petite version des 128 premières lignes du triangle de Pascal. Nous avons mis en évidence toutes les cellules divisibles par ${n} - que remarquez-vous?

Pour chaque nombre, nous avons un motif triangulaire différent similaire au triangle de Sierpinski. Le modèle est particulièrement régulier si nous choisissons un . Si le nombre a _plusieurs facteurs premiers différents, le modèle semble plus aléatoire._

Le jeu du chaos

Ici, vous pouvez voir les trois sommets d'un triangle équilatéral. Appuyez n'importe où dans la zone grise pour créer un quatrième point.

Jouons un jeu simple: nous choisissons l'un des sommets du triangle au hasard, dessinons un segment de ligne entre notre point et le sommet, puis trouvons le point médian de ce segment.

Maintenant, nous répétons le processus: nous choisissons un autre sommet aléatoire, dessinons le segment à partir de notre dernier point, puis trouvons le point médian. Notez que nous colorions ces nouveaux points en fonction de la couleur du sommet du triangle que nous avons choisi.

Jusqu'à présent, rien de surprenant ne s'est produit - mais regardez comme nous répétons le même processus plusieurs fois:

Ce processus est appelé Chaos Game. Il peut y avoir quelques points parasites au début, mais si vous répétez les mêmes étapes plusieurs fois, la distribution des points commence à ressembler exactement au triangle de Sierpinski!

Il existe de nombreuses autres versions de celui-ci - par exemple, nous pourrions commencer par un carré ou un pentagone, nous pourrions ajouter des règles supplémentaires comme ne pas pouvoir sélectionner le même sommet deux fois de suite, ou nous pourrions choisir le point suivant à un rapport autre que 12 le long du segment. Dans certains de ces cas, nous obtiendrons simplement une distribution aléatoire de points, mais dans d'autres cas, nous révélons encore plus de fractales:

Triangle
Square
Pentagon

Avez-vous découvert le ou ce basé sur le nombre d'or?

Automates cellulaires

Un automate cellulaire est une grille composée de nombreuses cellules individuelles. Chaque cellule peut être dans des «états» différents (par exemple, des couleurs différentes), et l'état de chaque cellule est déterminé par ses cellules environnantes.

Dans notre exemple, chaque cellule peut être noire ou blanche. Nous commençons par une ligne qui ne contient qu'un seul carré noir. Dans chaque ligne suivante, la couleur de chaque cellule est déterminée par les trois cellules immédiatement au-dessus. Appuyez sur les huit options possibles ci-dessous pour inverser leur couleur - pouvez-vous trouver un ensemble de règles qui crée un motif similaire au triangle Sierpinski?

Il y a deux choix pour chacune des huit options, ce qui signifie qu'il y a 28= règles possibles au total. Certains, comme la , ressemblent au triangle de Sierpinski. D'autres, comme la , semblent complètement chaotiques. Il a été découvert par Stephen Wolfram en 1983, et les ordinateurs peuvent même les utiliser pour générer des nombres aléatoires!

Les automates cellulaires montrent comment des motifs très complexes peuvent être créés par des règles très simples - tout comme les fractales. De nombreux processus dans la nature suivent également des règles simples, mais produisent des systèmes incroyablement complexes.

Dans certains cas, cela peut entraîner l'apparition de motifs qui ressemblent à des automates cellulaires, par exemple les couleurs sur la coquille de cet escargot.

Conus textile, un escargot de mer venimeux

Sierpinski Tetrahedra

Il existe de nombreuses variantes du triangle de Sierpinski et d'autres fractales aux propriétés et processus de création similaires. Certains ont un aspect bidimensionnel, comme le Sierpinski Carpet que vous avez vu ci-dessus. D'autres ont l'air en 3 dimensions, comme ces exemples:

Sierpinski Tetrahedra

Pyramide de Sierpinski

Archie