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Transformations et symétrieTransformations rigides

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Une transformation rigide est un type spécial de transformation qui ne change pas la taille ou la forme d'une figure. Nous pourrions imaginer qu'il est fait d'un matériau solide comme le bois ou le métal: nous pouvons le déplacer, le tourner ou le retourner, mais nous ne pouvons pas l'étirer, le plier ou le déformer.

Laquelle de ces cinq transformations est rigide?

Il s'avère qu'il n'y a que trois types différents de transformations rigides:

Une transformation qui déplace simplement une forme s'appelle une traduction .

Une transformation qui retourne une forme est appelée une réflexion .

Une transformation qui fait tourner une forme est appelée rotation .

Nous pouvons également combiner plusieurs types de transformation pour en créer des plus complexes - par exemple, une traduction suivie d'une rotation.

Mais d'abord, examinons plus en détail chacun de ces types de transformations.

Traductions

Une traduction est une transformation qui déplace chaque point d'une figure de la même distance dans la même direction.

Dans le plan de coordonnées, nous pouvons spécifier une translation de la distance de déplacement de la forme le long de l'axe x et de l'axe y . Par exemple, une transformation de (3, 5) déplace une forme de 3 le long de l'axe x et de 5 le long de l'axe y .

Traduit par ( , )

Traduit par ( , )

Traduit par ( , )

Maintenant, c'est votre tour - traduisez les formes suivantes comme indiqué:

Traduire par (3, 1)

Traduire par (–4, –2)

Traduire par (5, –1)

Réflexions

Une réflexion est une transformation qui «retourne» ou «reflète» une forme sur une ligne. Cette ligne est appelée la ligne de réflexion .

Tracez la ligne de réflexion dans chacun de ces exemples:

Maintenant, c'est votre tour - dessinez le reflet de chacune de ces formes:

Notez que si un point se trouve sur la ligne de réflexion, il lorsqu'il est réfléchi: son image est le même point que l'original.

Dans tous les exemples ci-dessus, la ligne de réflexion était horizontale, verticale ou à un angle de 45°, ce qui facilitait le dessin des réflexions. Si ce n'est pas le cas, la construction nécessite un peu plus de travail:

Pour refléter cette forme sur la ligne de réflexion , nous devons réfléchir chaque sommet individuellement, puis les relier à nouveau.

Choisissons l'un des sommets et dessinons la ligne à travers ce sommet qui est perpendiculaire à la ligne de réflexion.

Maintenant, nous pouvons mesurer la distance entre le sommet et la ligne de réflexion, et faire le point qui a la même distance de l'autre côté. (Nous pouvons utiliser une règle ou une boussole pour ce faire.)

Nous pouvons faire de même pour tous les autres sommets de notre forme.

Il ne nous reste plus qu'à connecter les sommets réfléchis dans le bon ordre, et nous avons trouvé la réflexion!

Rotations

Une rotation est une transformation qui «transforme» une forme d'un certain angle autour d'un point fixe. Ce point est appelé le centre de rotation . Les rotations peuvent être dans le sens horaire ou antihoraire.

Essayez de faire pivoter les formes ci-dessous autour du centre de rotation rouge:

Tournez de 90° dans le sens des aiguilles d'une montre.

Tournez de 180°.

Tournez de 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Il est plus difficile de dessiner des rotations qui ne sont pas exactement à 90° ou 180°. Essayons de faire pivoter cette forme en ${10*ang}° autour du centre de rotation .

Comme pour les réflexions, nous devons faire pivoter chaque point d'une forme individuellement.

Nous commençons par choisir l'un des sommets et tracer une ligne au centre de rotation.

En utilisant un rapporteur , nous pouvons mesurer un angle de ${ang*10}° autour du centre de rotation. Tirons une deuxième ligne à cet angle.

En utilisant une boussole ou une règle, nous pouvons trouver un point sur cette ligne qui a la même distance du centre de rotation que le point d'origine.

Nous devons maintenant répéter ces étapes pour tous les autres sommets de notre forme.

Et enfin, comme précédemment, nous pouvons connecter les sommets individuels pour obtenir l'image pivotée de notre forme d'origine.

Les transformations sont un concept important dans de nombreuses parties des mathématiques, pas seulement la géométrie. Par exemple, vous pouvez transformer des fonctions en déplaçant ou en faisant pivoter leurs graphiques . Vous pouvez également utiliser des transformations pour déterminer si deux formes sont congruentes .