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Cercles et PiDegrés et radians

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Jusqu'à présent en géométrie, nous avons toujours mesuré les angles en degrés . UNE la rotation du cercle complet est de °, un demi-cercle est de °, un le quart de cercle est de °, etc.

Le nombre 360 est très pratique car il est divisible par de nombreux autres nombres: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, etc. Cela signifie que de nombreuses fractions d'un cercle sont également des nombres entiers. Mais vous êtes-vous déjà demandé d'où vient le numéro 360?

En fait, 360 degrés sont l'un des plus anciens concepts mathématiques que nous utilisons encore aujourd'hui. Ils ont été développés dans l'ancienne Babylone, il y a plus de 5000 ans!

À cette époque, l'une des applications les plus importantes des mathématiques était en astronomie. Le soleil détermine les quatre saisons, que les agriculteurs doivent connaître lors de la culture. De même, la lune détermine les marées, ce qui était important pour les pêcheurs. Les gens ont également étudié les étoiles pour prédire l'avenir ou pour communiquer avec les dieux.

Une tablette babylonienne pour calculer 2

Les astronomes ont remarqué que les constellations visibles à un moment précis de la nuit se déplaçaient un peu chaque jour - jusqu'à ce qu'après environ 360 jours, elles soient retournées à leur point de départ. Et c'est peut-être la raison pour laquelle ils ont divisé le cercle en 360 degrés.

Midnight on day ${day}

Bien sûr, il y a en fait 365 jours en un an (enfin 365.242199 pour être exact), mais les mathématiciens babyloniens ont travaillé avec de simples cadrans solaires, et cette approximation était parfaitement adéquate.

Il a également bien fonctionné avec leur système de numérotation de base 60 existant (depuis 6×60=360 ). Ce système est la raison pour laquelle nous avons encore 60 secondes en une minute et 60 minutes en une heure - même si la plupart des autres unités sont mesurées en base 10 (par exemple 10 ans dans une décennie ou 100 ans dans un siècle).

Pour beaucoup d'entre nous, mesurer les angles en degrés est une seconde nature: il y a une vidéo à 360°, les planchistes peuvent tirer des 540, et quelqu'un qui change de décision peut faire un virage à 180°.

Mais d'un point de vue mathématique, le choix de 360 est complètement arbitraire. Si nous vivions sur Mars, un cercle pourrait avoir 670°, et un an sur Jupiter a même 10 475 jours.

Le 540 McFlip, une rotation de 540°

Radians

Plutôt que de diviser un cercle en un certain nombre de segments (comme 360 degrés), les mathématiciens préfèrent souvent mesurer les angles en utilisant la circonférence d'un cercle unitaire (un cercle de rayon 1).

UNE le cercle complet a une circonférence .

Pour un rotation en demi-cercle , la distance correspondante le long de la circonférence est .

Pour un rotation en quart de cercle , la distance le long de la circonférence est .

Et ainsi de suite: cette façon de mesurer les angles est appelée radians (vous pouvez vous en souvenir comme «unités de rayon»).

Chaque angle en degrés a une taille équivalente en radians. La conversion entre les deux est très facile - tout comme vous pouvez convertir entre d'autres unités comme les mètres et les kilomètres, ou Celsius et Fahrenheit:

360° = 2 π rad


= rad


1 rad = °

Vous pouvez écrire la valeur des radians soit comme un multiple de π , soit comme un simple nombre décimal. Pouvez-vous remplir ce tableau des tailles d'angles équivalentes en degrés et radians?

degrés060180
radians0232π

Distance parcourue

Vous pouvez considérer les radians comme la «distance parcourue» le long de la circonférence d'un cercle unitaire. Ceci est particulièrement utile lorsque vous travaillez avec des objets qui se déplacent sur une trajectoire circulaire.

Par exemple, la Station spatiale internationale orbite autour de la Terre toutes les 1,5 heure. Cela signifie que sa vitesse de rotation est radians par heure.

Dans un cercle unitaire , la vitesse de rotation est la même que la vitesse réelle , car la longueur de la circonférence est la même qu'une rotation complète en radians (les deux sont 2π ).

Le rayon de l'orbite de l'ISS est de 6800  km, ce qui signifie que la vitesse réelle de l'ISS doit être = 28483 km par heure.

${round(p*1.5,1)}h

Pouvez-vous voir que, dans cet exemple, les radians sont une unité beaucoup plus pratique que les degrés? Une fois que nous connaissons la vitesse de rotation, nous devons simplement multiplier par le rayon pour obtenir la vitesse réelle.

Voici un autre exemple: votre voiture a des roues avec un rayon de 0,25  m. Si vous conduisez à une vitesse de 20  m / s, les roues de votre voiture tournent à radians par seconde (ou 802π=13 rotations par seconde).

Trigonométrie

Pour la plupart des problèmes de géométrie simples, les degrés et les radians sont complètement interchangeables - vous pouvez choisir celui que vous préférez, ou une question peut vous dire dans quelle unité donner votre réponse. Cependant, une fois que vous avez étudié la trigonométrie ou le calcul plus avancé, il s'avère que les radians sont beaucoup plus pratiques que les degrés.

La plupart des calculatrices ont un bouton spécial pour basculer entre degrés et radians. Les fonctions trigonométriques comme sin , cos et tan prennent des angles en entrée, et leurs fonctions inverses arcsin , arccos et arctan renvoient des angles en sortie. Le paramètre actuel de la calculatrice détermine les unités utilisées pour ces angles.

Essayez d'utiliser cette calculatrice pour calculer que

sin (30°) = cos (1°) =
sin (30 rad) = cos (1 rad) =

DEG
7
8
9
sin
4
5
6
cos
1
2
3
tan
0
.
C
mode

L'utilisation de radians présente un avantage particulièrement intéressant lors de l'utilisation de la fonction Sinus. Si θ est un très petit angle (moins de 20° ou 0,3 rad), alors sinθθ . Par exemple,

péché( ${x} ) ${sin(x)}

C'est ce qu'on appelle l' approximation aux petits angles , et cela peut grandement simplifier certaines équations contenant des fonctions trigonométriques. Vous en apprendrez beaucoup plus à ce sujet à l'avenir.