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Cercles et PiTangentes, accords et arcs

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Dans les sections précédentes, vous avez appris les noms donnés à plusieurs parties différentes d'un cercle - comme le centre, le rayon, le diamètre et la circonférence. Cependant, il existe de nombreux éléments géométriques liés à un cercle, dont nous aurons besoin pour résoudre des problèmes plus complexes :

  • Une sécante est une droite qui coupe un cercle en deux points.
  • Une corde est un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur la circonférence d'un cercle.
  • Une tangente est une droite qui intersecte un cercle à exactement un point. C'est ce qu'on appelle le point de tangence .
  • Un arc est une portion de la circonférence d'un cercle.
  • Un secteur fait partie de l'intérieur d'un cercle, délimité par un arc et deux rayons .
  • Enfin, un segment circulaire est une partie de l'intérieur d'un cercle, délimité par un arc et un accord .

Dans cette section, nous allons examiner la relation entre tous ces éléments et prouver des théorèmes sur leurs propriétés. Ne vous inquiétez pas de mémoriser toutes les définitions pour l'instant - vous pouvez toujours utiliser le glossaire .

Tangentes

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Cordes

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Arcs et secteurs

La plupart des scientifiques de la Grèce antique ont convenu que la Terre était une sphère. Il y avait beaucoup de preuves : des navires disparaissant derrière l'horizon en mer au mouvement circulaire des étoiles pendant la nuit.

Malheureusement, personne ne savait exactement la taille de la Terre - jusqu'à environ 200 avant JC, lorsque le mathématicien Ératosthène a trouvé un moyen ingénieux de mesurer le rayon de la Terre, en utilisant de la géométrie élémentaire. Tout ce dont nous avons besoin, c'est d'un peu plus de connaissances sur les arcs et les secteurs d'un cercle.

Comme vous pouvez le voir sur le schéma, un arc fait partie de la d'un cercle, et un secteur fait partie de l' d'un cercle.

L'arc entre deux points A et B est souvent écrit comme AB . Cette définition est légèrement ambiguë: il existe un deuxième arc qui relie A et B mais fait le contraire dans le cercle.

Le plus petit des deux arcs est appelé arc mineur et le plus grand est appelé arc majeur . Si les points A et B sont exactement opposés, les deux arcs ont la même longueur et sont des - .

Pour trouver la longueur d'un arc ou l'aire d'un secteur, nous devons connaître l'angle correspondant au centre du cercle : c'est ce qu'on appelle l' angle au centre .

Remarquez comment l'arc, le secteur et l'angle occupent tous la même proportion d'un cercle complet. Par exemple, si le l'angle central est , il prend d'un cercle complet .

Cela signifie que la longueur de l'arc est également 14 de toute la circonférence du cercle, et l'aire du secteur est 14 de l'aire totale du cercle.

Nous pouvons exprimer cette relation dans une équation :

longueur de l'arccirconférence=aire du cercle=angle au centre

Nous pouvons maintenant réorganiser ces équations pour trouver la variable qui nous intéresse. Par exemple,

longueur de l'arc=circonférence×c360
=2πr×c360
aire du secteur=aire du cercle×c360
=πr2×c360

r est le rayon du cercle et c est la valeur de l'angle au centre.

Si l'angle au centre est mesuré en radians plutôt qu'en degrés , nous pouvons utiliser les mêmes équations, mais nous devons remplacer 360° par :

longueur de l'arc=2πr×c2π
=r×c
aire du secteur=πr2×c2π
=12r2c

Remarquez comment les équations deviennent beaucoup plus simples et π s'annule partout. En effet, comme vous vous en souvenez peut-être, la définition des radians est essentiellement la longueur d'un arc dans un cercle de rayon 1.

Voyons maintenant comment utiliser les arcs et les secteurs pour calculer la circonférence de la Terre.

Dans l'Égypte ancienne, la ville de Swenet était située le long du Nil. Swenet était célèbre pour un puits avec une propriété curieuse : il y avait un moment chaque année où la lumière du soleil atteignait le fond du puits - à midi le 21 juin, le jour du solstice d'été . À ce moment précis, le fond du puits était éclairé, mais pas ses côtés, ce qui signifie que le Soleil se tenait directement au-dessus du puits.

Les anciens Égyptiens mesuraient les longues distances en comptant le nombre de pas qu'il fallait pour marcher.

Certaines sources affirment que le «puits d'Ératosthène» se trouvait sur l'île Éléphantine sur le Nil.

Le mathématicien Eratosthène vivait à Alexandrie , à environ 800 km au nord de Swenet, où il était directeur de la Grande Bibliothèque. Dans le centre-ville d'Alexandrie se dressait un obélisque, un monument haut et étroit avec un sommet en forme de pyramide.

Ératosthène a remarqué qu'à midi, le jour du solstice d'été, l'obélisque jetait une ombre - ce qui signifie que le soleil n'était pas directement au-dessus. Il en a déduit que c'était à cause de la courbure de la Terre, et a réalisé que l'ombre pouvait être utilisée pour calculer la circonférence de notre planète.

Ici, vous pouvez voir le puits de Swenet ainsi que l'obélisque d'Alexandrie. Les rayons du soleil tombent directement dans le puits, mais frappent l'obélisque en biais et projettent une ombre.

Ératosthène a mesuré que le l'angle de l'ombre était de 7,2°. C'est le même que l' angle au centre de l' arc d'Alexandrie à Swenet, car les deux angles sont .

Maintenant, nous pouvons utiliser l'équation de la longueur d'arc que nous avons optenu ci-dessus :

arccirconférence=°360°

Si nous réorganisons cela, nous constatons que la circonférence de la Terre est

circonférence=360°7.2°×800 km=km

Enfin, nous savons que la circonférence d'un cercle est C=2πr , donc le rayon de la Terre est

rEarth=40000km2π6400km .

La mesure d'Ératosthène a été l'une des expériences les plus importantes de l'Antiquité. Son estimation de la taille de la Terre était étonnamment précise, surtout si l'on considère qu'il n'avait accès qu'à des outils de mesure très basiques.

Bien sûr, il peut être difficile de traduire ses résultats originaux en unités modernes comme les kilomètres. Dans la Grèce antique, la distance était mesurée en stades (environ 160 m), mais il n'y avait pas de norme universelle. Chaque zone avait une version légèrement différente, et nous ne savons pas laquelle Eratosthène a utilisé.

Au cours des siècles suivants, les scientifiques ont essayé d'utiliser d'autres méthodes pour calculer le rayon de la Terre - parfois avec des résultats très différents et incorrects.

C'est l'une de ces mesures incorrectes qui a incité Christophe Colomb à naviguer vers l'ouest depuis le Portugal. Il a supposé que la Terre était beaucoup plus petite qu'elle ne l'est réellement et espérait atteindre l'Inde. En fait, il est arrivé sur un autre continent entre les deux: l'Amérique.

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