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Cercles et PiSphères, cônes et cylindres

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Dans les sections précédentes, nous avons étudié les propriétés des cercles sur une surface plane. Mais notre monde est en fait en trois dimensions, alors jetons un œil à certains solides 3D basés sur des cercles:

Un cylindre se compose de deux cercles parallèles congruents reliés par une surface courbe.

Un cône a une base circulaire qui est reliée à un seul point (appelé le sommet).

Chaque point à la surface d'une sphère a la même distance de son centre.

Remarquez comment la définition d'une sphère est presque la même que la définition d'un - sauf en trois dimensions!

Cylindres

Ici vous pouvez voir le gazomètre cylindrique à Oberhausen, en Allemagne. Il stockait le gaz naturel qui était utilisé comme carburant dans les usines et les centrales électriques à proximité. Le gazomètre mesure 120 m de haut et sa base et son plafond sont deux grands cercles d'un rayon de 35 m. Les ingénieurs peuvent vouloir répondre à deux questions importantes:

  • Quelle quantité de gaz naturel peut être stockée? C'est le du cylindre.
  • Quelle quantité d'acier est nécessaire pour construire le gazomètre? C'est (approximativement) la du cylindre.

Essayons de trouver des formules pour ces deux résultats!

Gazomètre Oberhausen

Volume d'un cylindre

Le haut et le bas d'un cylindre sont deux cercles congrus, appelés bases . le la hauteur h d'un cylindre est la distance perpendiculaire entre ces bases, et la le rayon r d'un cylindre est simplement le rayon des bases circulaires.

Nous pouvons approximer un cylindre en utilisant un ${n} prisme à deux faces. À mesure que le nombre de côtés augmente, le prisme commence à ressembler de plus en plus à un cylindre:

Même si un cylindre n'est techniquement pas un prisme, ils partagent de nombreuses propriétés. Dans les deux cas, on peut trouver le volume en multipliant l'aire de leur base avec leur hauteur . Cela signifie qu'un cylindre de rayon r et hauteur h a du volume

V=

N'oubliez pas que le rayon et la hauteur doivent utiliser les mêmes unités. Par exemple, si r et h sont tous deux en cm, alors le volume sera en .

Dans les exemples ci-dessus, les deux bases du cylindre étaient toujours directement l'une au-dessus de l'autre : c'est ce qu'on appelle un cylindre droit . Si les bases ne sont pas directement les unes au-dessus des autres, nous avons un cylindre oblique . Les bases sont toujours parallèles, mais les côtés semblent se pencher à un angle qui n'est pas de 90°.

La tour penchée de Pise en Italie n'est pas tout à fait un cylindre oblique.

Le volume d'un cylindre oblique se révèle être exactement le même que celui d'un cylindre droit avec le même rayon et la même hauteur. Cela est dû au principe de Cavalieri , nommé d'après le mathématicien italien Bonaventura Cavalieri : si deux solides ont la même aire de section transversale à chaque hauteur, alors ils auront le même volume.

Imaginez trancher un cylindre en beaucoup de disques minces. On peut alors faire glisser ces disques horizontalement pour obtenir un cylindre oblique. Le volume des disques individuels ne change pas lorsque vous le rendez oblique, donc le volume total reste également constant:

Surface d'un cylindre

Pour trouver la surface d'un cylindre, il faut le «dérouler» dans son filet plat. Vous pouvez l'essayer vous-même, par exemple en décollant l'étiquette sur une boîte de nourriture.

Il y a deux , un en haut et un en bas du cylindre. Le côté incurvé est en fait un grand .

  • Les deux cercles ont chacun une aire .
  • La hauteur du rectangle est et la largeur du rectangle est la même que la des cercles: .

Cela signifie que la surface totale d'un cylindre de rayon r et de hauteur h est donnée par

A= .

Les cylindres peuvent être trouvés partout dans notre monde - des canettes de soda au papier toilette ou aux tuyaux d'eau. Pouvez-vous penser à d'autres exemples?

Le gazomètre ci-dessus avait un rayon de 35 m et une hauteur de 120 m. On peut maintenant calculer que son volume est d'environ m3 et sa surface est d'environ m2 .

Cônes

Un cône est un solide en trois dimensions qui a une circulaire base . Son côté «se rétrécit vers le haut» comme le montre le diagramme et se termine en un seul point appelé sommet .

le rayon du cône est le rayon de la base circulaire, et le la hauteur du cône est la distance perpendiculaire de la base au sommet.

Tout comme les autres formes que nous avons rencontrées auparavant, les cônes sont partout autour de nous: des cônes de crème glacée, des cônes de signalisation, certains toits et même des arbres de Noël. De quoi d'autre pouvez vous penser?

Volume d'un cône

Nous avons précédemment trouvé le volume d'un cylindre en l'approximant à l'aide d'un prisme. De même, nous pouvons trouver le volume d'un cône en l'approximant à l'aide d'une pyramide .

Ici vous pouvez voir un ${n} pyramide à côtés. À mesure que le nombre de côtés augmente, la pyramide commence à ressembler de plus en plus à un cône. En fait, nous pourrions penser à un cône comme une pyramide avec une infinité de côtés!

Cela signifie également que nous pouvons également utiliser l'équation pour le volume: V=13base×height . La base d'un cône est un cercle, donc le volume d'un cône de rayon r et de hauteur h est

V=

Remarquez la similitude avec l'équation du volume d'un cylindre. Imaginez dessiner un cylindre autour du cône, avec la même base et la même hauteur - c'est ce qu'on appelle le cylindre circonscrit . Maintenant, le cône prendra exactement du volume du cylindre:

Remarque: Vous pourriez penser qu’une infinité de côtés minuscules en tant qu’approximation est un peu «imprécis». Les mathématiciens ont longuement essayé de trouver un moyen plus simple de calculer le volume d'un cône. En 1900, le grand mathématicien David Hilbert l'a même nommé comme l'un des 23 problèmes non résolus les plus importants en mathématiques! Aujourd'hui, nous savons que c'est en fait impossible.

Tout comme un cylindre, un cône n'a pas à être «droit». Si le sommet est directement au-dessus du centre de la base, nous avons un cône droit . Sinon, nous l'appelons un cône oblique .

Encore une fois, nous pouvons utiliser le principe de Cavalieri pour montrer que tous les cônes obliques ont le même volume, tant qu'ils ont la même base et la même hauteur.

Surface d'un cône

Trouver la surface d'un cône est un peu plus délicat. Comme auparavant, nous pouvons démêler un cône dans son filet. Déplacez le curseur pour voir ce qui se passe: dans ce cas, nous obtenons un cercle et un .

Il ne nous reste plus qu'à additionner la surface de ces deux composants. le la base est un cercle de rayon r , donc son aire est

ABase= .

Le rayon du secteur est la même que la distance entre le bord d'un cône et son sommet. C'est ce qu'on appelle le hauteur inclinée s du cône, et pas la même que la normale hauteur h . Nous pouvons trouver la hauteur inclinée en utilisant Pythagore :

s2=
s=

le la longueur d'arc du secteur est la même que la de la base : 2πr . Maintenant, nous pouvons trouver l'aire du secteur en utilisant la formule que nous avons dérivée dans une section précédente:

ASector=ACircle×arccircumference
=

Enfin, il suffit d'ajouter la zone de la base et la zone de la secteur , pour obtenir la surface totale sont du cône:

A=

Sphères

Une sphère est un solide tridimensionnel composé de tous les points qui ont la même distance par rapport à un centre C. Cette distance est appelée rayon r de la sphère.

Vous pouvez considérer une sphère comme un « cercle tridimensionnel». Tout comme un cercle, une sphère a également un diamètre d , qui est la longueur du rayon, ainsi que les accords et les sécants.

Dans une section précédente , vous avez appris comment le mathématicien grec Ératosthène a calculé le rayon de la Terre en utilisant l'ombre d'un pôle - il était de 6 371 km. Maintenant, essayons de trouver le volume total et la surface totale de la Terre.

Volume d'une sphère

Pour trouver le volume d'une sphère, nous devons encore une fois utiliser le principe de Cavalieri. Commençons par un hémisphère - une sphère coupée en deux le long de l'équateur. Nous avons également besoin d'un cylindre ayant le même rayon et la même hauteur que l'hémisphère, mais avec un cône inversé «découpé» au milieu.

Lorsque vous déplacez le curseur ci-dessous, vous pouvez voir la coupe transversale de ces deux formes à une hauteur spécifique au-dessus de la base:

Essayons de trouver l'aire de la section transversale de ces deux solides, à distance hauteur h au-dessus de la base.

La section transversale de l'hémisphère est toujours un .

le le rayon x de la section fait partie d'un triangle rectangle , nous pouvons donc utiliser Pythagore :

r2=h2+x2 .

Maintenant, l'aire de la section transversale est

A=

La section transversale du cylindre découpé est toujours un .

Le rayon du trou est h . Nous pouvons trouver l'aire de l'anneau en soustrayant l'aire du trou de l'aire du grand cercle:

A=πr2πh2
=πr2h2

Il semble que les deux solides aient la même section transversale à tous les niveaux. Selon le principe de Cavalieri, les deux solides doivent également avoir le même ! On peut trouver le volume de l'hémisphère en soustrayant le volume du cylindre et le volume du cône :

VHemisphere=VCylinderVCone
=

Une sphère se compose de hémisphères, ce qui signifie que son volume doit être

V=43πr3 .

La Terre est (approximativement) une sphère d'un rayon de 6 371  km. Par conséquent, son volume est

V=
= 1 km3

La densité moyenne de la Terre est 5510kg/m3 . Cela signifie que sa masse totale est

Mass=Volume×Density6×1024kg

C'est un 6 suivi de 24 zéros!

Si vous comparez les équations du volume d'un cylindre, d'un cône et d'une sphère, vous remarquerez peut-être l'une des relations les plus satisfaisantes en géométrie. Imaginez que nous ayons un cylindre de la même hauteur que le diamètre de sa base. Nous pouvons maintenant parfaitement adapter un cône et une sphère à l'intérieur:

+

Ce cône a un rayon r et hauteur 2r . Son volume est

=

Cette sphère a un rayon r . Son volume est

Ce cylindre a un rayon r et hauteur 2r . Son volume est

Remarquez comment, si nous le volume du cône et de la sphère, on obtient exactement le volume du cylindre!

Surface d'une sphère

Il est très difficile de trouver une formule pour la surface d'une sphère. L'une des raisons est que nous ne pouvons pas ouvrir et «aplatir» la surface d'une sphère, comme nous l'avons fait pour les cônes et les cylindres auparavant.

Il s'agit d'un problème particulier lorsque vous essayez de créer des cartes. La Terre a une surface incurvée en trois dimensions, mais chaque carte imprimée doit être plate et en deux dimensions. Cela signifie que les géographes doivent tricher: en étirant ou en écrasant certaines zones.

Ici, vous pouvez voir différents types de cartes, appelées projections . Essayez de déplacer le carré rouge et regardez à quoi ressemble réellement cette zone sur un globe:

Mercator
Cylindrical
Robinson
Mollweide

As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the three-dimensional globe.

Pour trouver la surface d'une sphère, nous pouvons à nouveau l'approximer en utilisant une forme différente - par exemple un polyèdre avec beaucoup de faces. À mesure que le nombre de faces augmente, le polyèdre commence à ressembler de plus en plus à une sphère.

À VENIR: Sphère Surface Proof