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Tiếng ViệtCercles et PiSphères, cônes et cylindres
Dans les sections précédentes, nous avons étudié les propriétés des cercles sur une surface plane. Mais notre monde est en fait en trois dimensions, alors jetons un œil à certains solides 3D basés sur des cercles :
Un Un cylindre est un solide tridimensionnel constitué de deux côtés circulaires, parallèles et congrus (les bases), reliés par une surface courbe. Vous pouvez également considérer un cylindre comme un «prisme circulaire».
Un Un cône est un solide tridimensionnel qui a une base circulaire __ reliée à un seul point (appelé sommet) par un côté incurvé. Vous pouvez également considérer un cône comme une «pyramide circulaire». Un cône droit est un cône avec son sommet directement au-dessus du centre de sa base.
Chaque point à la surface d'une A sphere is a three-dimensional solid consisting of all points that have the same distance from a given center. This distance is called the radius of the sphere.
Remarquez comment la définition d'une sphère est presque la même que la définition d'un
Cylindres
Ici vous pouvez voir le gazomètre cylindrique à Oberhausen, en Allemagne. Il stockait le gaz naturel qui était utilisé comme carburant dans les usines et les centrales électriques à proximité. Le gazomètre mesure 120 m de haut et sa base et son plafond sont deux grands cercles d'un rayon de 35 m. Les ingénieurs peuvent vouloir répondre à deux questions importantes :
- Quelle quantité de gaz naturel peut être stockée? C'est le
??? du cylindre. - Quelle quantité d'acier est nécessaire pour construire le gazomètre? C'est (approximativement) la
??? du cylindre.
Essayons de trouver des formules pour ces deux résultats!
Gazomètre Oberhausen
Volume d'un cylindre
Le haut et le bas d'un cylindre sont deux cercles congrus, appelés bases . La hauteur h d'un cylindre est la distance perpendiculaire entre ces bases, et le rayon r d'un cylindre est simplement le rayon des bases circulaires.
Nous pouvons approximer un cylindre en utilisant un A prism is a three-dimensional solid that has two congruent faces that are polygons (called the bases), whose corresponding vertices are joined by parallel segments. The remaining faces of a prism are all rectangles or parallelograms.
Même si un cylindre n'est techniquement pas un prisme, ils partagent de nombreuses propriétés. Dans les deux cas, on peut trouver le volume en multipliant l'aire de leur base avec leur hauteur . Cela signifie qu'un cylindre de rayon r et hauteur h a un volume :
N'oubliez pas que le rayon et la hauteur doivent utiliser les mêmes unités. Par exemple, si r et h sont tous deux en cm, alors le volume sera en
Dans les exemples ci-dessus, les deux bases du cylindre étaient toujours directement l'une au-dessus de l'autre : c'est ce qu'on appelle un cylindre droit . Si les bases ne sont pas directement les unes au-dessus des autres, nous avons un cylindre oblique . Les bases sont toujours parallèles, mais les côtés semblent se pencher à un angle qui n'est pas de 90°.
La tour penchée de Pise en Italie n'est pas tout à fait un cylindre oblique.
Le volume d'un cylindre oblique se révèle être exactement le même que celui d'un cylindre droit avec le même rayon et la même hauteur. Cela est dû au Cavalieri’s Principle states that if two solids have the same height and the same cross-sectional area at every level, then they both have the same volume. We can use this fact to derive that the volume of prisms and cylinders is the area of their cross-section multiplied by their height. Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647) était un mathématicien et moine italien. Il a développé un précurseur du calcul infinitésimal, et on se souvient du principe de Cavalieri pour trouver le volume de solides dans la géométrie. Cavalieri a également travaillé dans l'optique et la mécanique, introduit des logarithmes en Italie et échangé de nombreuses lettres avec Galileo Galilei.
Imaginez trancher un cylindre en beaucoup de disques minces. On peut alors faire glisser ces disques horizontalement pour obtenir un cylindre oblique. Le volume des disques individuels ne change pas lorsque vous le rendez oblique, donc le volume total reste également constant :
Surface d'un cylindre
Pour trouver la surface d'un cylindre, il faut «aplanir» l'objet, et on obtient son The net of a polyhedron is what you get when you “unfold” its polygonal faces onto a flat surface.
Il y a deux
- Les deux cercles ont chacun une aire
- La hauteur du rectangle est
??? des cercles:
Cela signifie que la surface totale d'un cylindre de rayon r et de hauteur h est donnée par
Les cylindres peuvent être trouvés partout dans notre monde - des canettes de soda au papier toilette ou aux tuyaux d'eau. Pouvez-vous penser à d'autres exemples?
Le gazomètre ci-dessus avait un rayon de 35 m et une hauteur de 120 m. On peut maintenant calculer que son volume est d'environ
Cônes
Un Un cône est un solide tridimensionnel qui a une base circulaire __ reliée à un seul point (appelé sommet) par un côté incurvé. Vous pouvez également considérer un cône comme une «pyramide circulaire». Un cône droit est un cône avec son sommet directement au-dessus du centre de sa base.
le rayon du cône est le rayon de la base circulaire, et le la hauteur du cône est la distance perpendiculaire de la base au sommet.
Tout comme les autres formes que nous avons rencontrées auparavant, les cônes sont partout autour de nous : des cônes de crème glacée, des cônes de signalisation, certains toits et même des arbres de Noël. À quoi d'autre pouvez vous penser?
Volume d'un cône
Nous avons précédemment trouvé le volume d'un cylindre en l'approximant à l'aide d'un prisme. De même, nous pouvons trouver le volume d'un cône en l'approximant à l'aide d'une A pyramid is a polyhedron that has a polygon as base, and triangular faces around the outside, that taper to a vertex. In a right regular pyramid, the base is a regular polygon and the vertex is directly above the center of the base.
Ici vous pouvez voir un
Cela signifie également que nous pouvons également utiliser l'équation pour le volume :
Remarquez la similitude avec l'équation du volume d'un cylindre. Imaginez dessiner un cylindre autour du cône, avec la même base et la même hauteur - c'est ce qu'on appelle le cylindre circonscrit . Maintenant, le cône prendra exactement
Remarque : Vous pourriez penser qu’une infinité de côtés minuscules en tant qu’approximation est un peu «imprécis». Les mathématiciens ont longuement essayé de trouver un moyen plus simple de calculer le volume d'un cône. En 1900, le grand mathématicien David Hilbert (1862 - 1943) était l'un des mathématiciens les plus influents du 20e siècle. Il a travaillé dans presque tous les domaines des mathématiques et était particulièrement intéressé à construire une base formelle et logique pour les mathématiques. Hilbert a travaillé à Göttingen (Allemagne), où il a enseigné à de nombreux étudiants qui sont devenus plus tard des mathématiciens célèbres. Lors du Congrès international des mathématiciens en 1900, il a présenté une liste de 23 problèmes non résolus. Celles-ci ouvrent la voie à de futures recherches - et quatre d'entre elles ne sont toujours pas résolues aujourd'hui!
Tout comme un cylindre, un cône n'a pas à être «droit». Si le sommet est directement au-dessus du centre de la base, nous avons un cône droit . Sinon, nous l'appelons un cône oblique .
Encore une fois, nous pouvons utiliser le principe de Cavalieri pour montrer que tous les cônes obliques ont le même volume, tant qu'ils ont la même base et la même hauteur.
Surface d'un cône
Trouver la surface d'un cône est un peu plus délicat. Comme auparavant, nous pouvons démêler un cône dans son filet. Déplacez le curseur pour voir ce qui se passe : dans ce cas, nous obtenons un cercle et un
Il ne nous reste plus qu'à additionner la surface de ces deux composants. la base est un cercle de rayon r , donc son aire est
Le rayon du secteur est la même que la distance entre le bord d'un cône et son sommet. C'est ce qu'on appelle la hauteur inclinée s du cône, et elle n'est pas égale à la hauteur normale h. Nous pouvons trouver la hauteur inclinée en utilisant le théorème de Pythagoras’ Theorem states that in every right-angled triangle,
+ × π | ||
+ × |
La longueur de l'arc du secteur est la même que la A sector of a circle is a part of its interior, bounded by two radii and an arc. Its area is proportional to the internal angle, as well as the length of the arc. This means that 
+ − × ÷ π |
Enfin, il suffit d'ajouter la zone de la base et la zone du secteur , pour obtenir la surface totale du cône:
Sphères
Une A sphere is a three-dimensional solid consisting of all points that have the same distance from a given center. This distance is called the radius of the sphere.
Vous pouvez considérer une sphère comme un « A circle is the set of all points in two dimensions, at a fixed distance (the radius) from a given point (the center).
Dans une section précédente , vous avez appris comment le mathématicien grec Ératosthène de Cyrène (v. 276 - 195 avant notre ère) était un mathématicien, géographe, astronome, historien et poète grec. Il a passé une grande partie de sa vie en Égypte, à la tête de la bibliothèque d'Alexandrie. Parmi de nombreuses autres réalisations, Ératosthène a calculé la circonférence de la Terre, mesuré l'inclinaison de l'axe de rotation de la Terre, estimé la distance au soleil et créé certaines des premières cartes du monde. Il a également inventé le "Tamis d'Ératosthène", un moyen efficace de calculer nombres premiers.
Volume d'une sphère
Pour trouver le volume d'une sphère, nous devons encore une fois utiliser le principe de Cavalieri. Commençons par un hémisphère - une sphère coupée en deux le long de l'équateur. Nous avons également besoin d'un cylindre ayant le même rayon et la même hauteur que l'hémisphère, mais avec un cône inversé «découpé» au milieu.
Lorsque vous déplacez le curseur ci-dessous, vous pouvez voir la coupe transversale de ces deux formes à une hauteur spécifique au-dessus de la base :
Essayons de trouver l'aire de la section transversale de ces deux solides, à une hauteur h au-dessus de la base.
La section transversale de l'hémisphère est toujours un
Le le rayon x de la section fait partie d'un triangle rectangle , nous pouvons donc utiliser le théorème de Pythagoras’ Theorem states that in every right-angled triangle,
Maintenant, l'aire de la section transversale est
| A | = | + − × ÷ π |
La section transversale du cylindre découpé est toujours un
Le rayon du trou est h . Nous pouvons trouver l'aire de l'anneau en soustrayant l'aire du trou de l'aire du grand cercle :
| A | = | |
| = |
Il semble que les deux solides aient la même section transversale à tous les niveaux. Selon le principe de Cavalieri, les deux solides doivent également avoir le même Le volume d'un cylindre est donné par l'équation où r est le rayon de la base circulaire et h est la hauteur du cylindre (la distance perpendiculaire entre les deux bases). Le volume d'un cône est donné par l'équation où r est le rayon de la base circulaire et h est la hauteur du cône (la distance perpendiculaire de la base au sommet).
| = | ||
| = | + − × ÷ π |
Une sphère se compose de
La Terre est (approximativement) une sphère d'un rayon de 6 371 km. Par conséquent, son volume est
+ − × ÷ π | ||
| 1 |
La densité moyenne de la Terre est
C'est un 6 suivi de 24 zéros!
Si vous comparez les équations du volume d'un cylindre, d'un cône et d'une sphère, vous remarquerez peut-être l'une des relations les plus satisfaisantes en géométrie. Imaginez que nous ayons un cylindre de la même hauteur que le diamètre de sa base. Nous pouvons maintenant parfaitement adapter un cône et une sphère à l'intérieur :
Ce cône a un rayon
Cette sphère a un rayon
Ce cylindre a un rayon
Remarquez comment, si nous
Surface d'une sphère
Il est très difficile de trouver une formule pour la surface d'une sphère. L'une des raisons est que nous ne pouvons pas ouvrir et «aplatir» la surface d'une sphère, comme nous l'avons fait pour les cônes et les cylindres auparavant.
Il s'agit d'un problème particulier lorsque vous essayez de créer des cartes. La Terre a une surface incurvée en trois dimensions, mais chaque carte imprimée doit être plate et en deux dimensions. Cela signifie que les géographes doivent tricher : en étirant ou en écrasant certaines zones.
Ici, vous pouvez voir différents types de cartes, appelées projections . Essayez de déplacer le carré rouge et regardez à quoi ressemble réellement cette zone sur un globe :
As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the three-dimensional globe.
Pour trouver la surface d'une sphère, nous pouvons à nouveau l'approximer en utilisant une forme différente - par exemple un polyèdre avec beaucoup de faces. À mesure que le nombre de faces augmente, le polyèdre commence à ressembler de plus en plus à une sphère.
À VENIR: Sphère Surface Proof