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Tiếng ViệtCercles et PiSphères, cônes et cylindres
Dans les sections précédentes, nous avons étudié les propriétés des cercles sur une surface plane. Mais notre monde est en fait en trois dimensions, alors jetons un œil à certains solides 3D basés sur des cercles :
Un
Un
Chaque point à la surface d'une
Remarquez comment la définition d'une sphère est presque la même que la définition d'un
Cylindres
Ici vous pouvez voir le gazomètre cylindrique à Oberhausen, en Allemagne. Il stockait le gaz naturel qui était utilisé comme carburant dans les usines et les centrales électriques à proximité. Le gazomètre mesure 120 m de haut et sa base et son plafond sont deux grands cercles d'un rayon de 35 m. Les ingénieurs peuvent vouloir répondre à deux questions importantes :
- Quelle quantité de gaz naturel peut être stockée? C'est le
du cylindre. - Quelle quantité d'acier est nécessaire pour construire le gazomètre? C'est (approximativement) la
du cylindre.
Essayons de trouver des formules pour ces deux résultats!
Gazomètre Oberhausen
Volume d'un cylindre
Le haut et le bas d'un cylindre sont deux cercles congrus, appelés bases . La hauteur h d'un cylindre est la distance perpendiculaire entre ces bases, et le rayon r d'un cylindre est simplement le rayon des bases circulaires.
Nous pouvons approximer un cylindre en utilisant un
Même si un cylindre n'est techniquement pas un prisme, ils partagent de nombreuses propriétés. Dans les deux cas, on peut trouver le volume en multipliant l'aire de leur base avec leur hauteur . Cela signifie qu'un cylindre de rayon r et hauteur h a un volume :
N'oubliez pas que le rayon et la hauteur doivent utiliser les mêmes unités. Par exemple, si r et h sont tous deux en cm, alors le volume sera en
Dans les exemples ci-dessus, les deux bases du cylindre étaient toujours directement l'une au-dessus de l'autre : c'est ce qu'on appelle un cylindre droit . Si les bases ne sont pas directement les unes au-dessus des autres, nous avons un cylindre oblique . Les bases sont toujours parallèles, mais les côtés semblent se pencher à un angle qui n'est pas de 90°.
La tour penchée de Pise en Italie n'est pas tout à fait un cylindre oblique.
Le volume d'un cylindre oblique se révèle être exactement le même que celui d'un cylindre droit avec le même rayon et la même hauteur. Cela est dû au
Imaginez trancher un cylindre en beaucoup de disques minces. On peut alors faire glisser ces disques horizontalement pour obtenir un cylindre oblique. Le volume des disques individuels ne change pas lorsque vous le rendez oblique, donc le volume total reste également constant :
Surface d'un cylindre
Pour trouver la surface d'un cylindre, il faut «aplanir» l'objet, et on obtient son
Il y a deux
- Les deux cercles ont chacun une aire
. - La hauteur du rectangle est
et la largeur du rectangle est la même que la des cercles: .
Cela signifie que la surface totale d'un cylindre de rayon r et de hauteur h est donnée par
Les cylindres peuvent être trouvés partout dans notre monde - des canettes de soda au papier toilette ou aux tuyaux d'eau. Pouvez-vous penser à d'autres exemples?
Le gazomètre ci-dessus avait un rayon de 35 m et une hauteur de 120 m. On peut maintenant calculer que son volume est d'environ
Cônes
Un
le rayon du cône est le rayon de la base circulaire, et le la hauteur du cône est la distance perpendiculaire de la base au sommet.
Tout comme les autres formes que nous avons rencontrées auparavant, les cônes sont partout autour de nous : des cônes de crème glacée, des cônes de signalisation, certains toits et même des arbres de Noël. À quoi d'autre pouvez vous penser?
Volume d'un cône
Nous avons précédemment trouvé le volume d'un cylindre en l'approximant à l'aide d'un prisme. De même, nous pouvons trouver le volume d'un cône en l'approximant à l'aide d'une
Ici vous pouvez voir un
Cela signifie également que nous pouvons également utiliser l'équation pour le volume :
Remarquez la similitude avec l'équation du volume d'un cylindre. Imaginez dessiner un cylindre autour du cône, avec la même base et la même hauteur - c'est ce qu'on appelle le cylindre circonscrit . Maintenant, le cône prendra exactement
Remarque : Vous pourriez penser qu’une infinité de côtés minuscules en tant qu’approximation est un peu «imprécis». Les mathématiciens ont longuement essayé de trouver un moyen plus simple de calculer le volume d'un cône. En 1900, le grand mathématicien
Tout comme un cylindre, un cône n'a pas à être «droit». Si le sommet est directement au-dessus du centre de la base, nous avons un cône droit . Sinon, nous l'appelons un cône oblique .
Encore une fois, nous pouvons utiliser le principe de Cavalieri pour montrer que tous les cônes obliques ont le même volume, tant qu'ils ont la même base et la même hauteur.
Surface d'un cône
Trouver la surface d'un cône est un peu plus délicat. Comme auparavant, nous pouvons démêler un cône dans son filet. Déplacez le curseur pour voir ce qui se passe : dans ce cas, nous obtenons un cercle et un
Il ne nous reste plus qu'à additionner la surface de ces deux composants. la base est un cercle de rayon r , donc son aire est
Le rayon du secteur est la même que la distance entre le bord d'un cône et son sommet. C'est ce qu'on appelle la hauteur inclinée s du cône, et elle n'est pas égale à la hauteur normale h. Nous pouvons trouver la hauteur inclinée en utilisant le théorème de
La longueur de l'arc du secteur est la même que la
Enfin, il suffit d'ajouter la zone de la base et la zone du secteur , pour obtenir la surface totale du cône:
Sphères
Une
Vous pouvez considérer une sphère comme un «
Dans une section précédente , vous avez appris comment le mathématicien grec
Volume d'une sphère
Pour trouver le volume d'une sphère, nous devons encore une fois utiliser le principe de Cavalieri. Commençons par un hémisphère - une sphère coupée en deux le long de l'équateur. Nous avons également besoin d'un cylindre ayant le même rayon et la même hauteur que l'hémisphère, mais avec un cône inversé «découpé» au milieu.
Lorsque vous déplacez le curseur ci-dessous, vous pouvez voir la coupe transversale de ces deux formes à une hauteur spécifique au-dessus de la base :
Essayons de trouver l'aire de la section transversale de ces deux solides, à une hauteur h au-dessus de la base.
La section transversale de l'hémisphère est toujours un
Le le rayon x de la section fait partie d'un triangle rectangle , nous pouvons donc utiliser le théorème de
Maintenant, l'aire de la section transversale est
| A | = |
La section transversale du cylindre découpé est toujours un
Le rayon du trou est h . Nous pouvons trouver l'aire de l'anneau en soustrayant l'aire du trou de l'aire du grand cercle :
| A | = | |
| = |
Il semble que les deux solides aient la même section transversale à tous les niveaux. Selon le principe de Cavalieri, les deux solides doivent également avoir le même
| = | ||
| = |
Une sphère se compose de
La Terre est (approximativement) une sphère d'un rayon de 6 371 km. Par conséquent, son volume est
| 1 |
La densité moyenne de la Terre est
C'est un 6 suivi de 24 zéros!
Si vous comparez les équations du volume d'un cylindre, d'un cône et d'une sphère, vous remarquerez peut-être l'une des relations les plus satisfaisantes en géométrie. Imaginez que nous ayons un cylindre de la même hauteur que le diamètre de sa base. Nous pouvons maintenant parfaitement adapter un cône et une sphère à l'intérieur :
Ce cône a un rayon
Cette sphère a un rayon
Ce cylindre a un rayon
Remarquez comment, si nous
Surface d'une sphère
Il est très difficile de trouver une formule pour la surface d'une sphère. L'une des raisons est que nous ne pouvons pas ouvrir et «aplatir» la surface d'une sphère, comme nous l'avons fait pour les cônes et les cylindres auparavant.
Il s'agit d'un problème particulier lorsque vous essayez de créer des cartes. La Terre a une surface incurvée en trois dimensions, mais chaque carte imprimée doit être plate et en deux dimensions. Cela signifie que les géographes doivent tricher : en étirant ou en écrasant certaines zones.
Ici, vous pouvez voir différents types de cartes, appelées projections . Essayez de déplacer le carré rouge et regardez à quoi ressemble réellement cette zone sur un globe :
As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the three-dimensional globe.
Pour trouver la surface d'une sphère, nous pouvons à nouveau l'approximer en utilisant une forme différente - par exemple un polyèdre avec beaucoup de faces. À mesure que le nombre de faces augmente, le polyèdre commence à ressembler de plus en plus à une sphère.
À VENIR: Sphère Surface Proof