Changer de langue

Englishعربى中文DeutschEspañolFrançaisहिन्दीHrvatskiItaliano日本語PortuguêsRomânăРусскийSvenskaTürkçeTiếng Việt

Connectez-vous à Mathigon

ou

Nouveau compte     Réinitialiser le mot de passe     

Cercles et Pi
Bande annonce
introduction
Degrés et radians
Tangentes, accords et arcs
Les théorèmes du cercle
Polygones cycliques
Sphères, cônes et cylindres
Sections coniques

Partager

Réinitialiser la progression

Cela supprimera votre progression et vos données de discussion pour tous les chapitres de ce cours, et ne peut pas être annulé!

Glossaire

Sélectionnez l'un des mots clés à gauche…

Cercles et Piintroduction

Temps de lecture: ~35 min

Depuis que l'homme existe, nous avons regardé le ciel et essayé d'expliquer la vie sur Terre en utilisant le mouvement des étoiles, des planètes et de la lune.

Les astronomes de la Grèce antique ont été les premiers à découvrir que tous les objets célestes se déplacent sur des chemins réguliers, appelés orbites . Ils pensaient que ces orbites étaient toujours circulaires. Après tout, les cercles sont les «plus parfaits» de toutes les formes : symétriques dans toutes les directions, et donc un choix approprié pour l'ordre sous-jacent de notre univers.

La Terre est au centre de l' univers ptolémaïque .

Chaque point sur un cercle est la même distance du centre. Cela signifie qu'ils peuvent être dessinés à l'aide d'un compas :

Il existe trois mesures importantes liées aux cercles que vous devez connaître :

  • le rayon est la distance entre le centre d'un cercle et son bord extérieur.
  • le diamètre est la distance entre deux points opposés sur un cercle. Il passe par son centre, et sa longueur est le rayon.
  • le la circonférence (ou périmètre) est la distance autour d'un cercle.

Une propriété importante des cercles est que tous les cercles sont similaires . Vous pouvez le prouver en montrant comment tous les cercles peuvent être mis en correspondance en utilisant simplement des translations et des dilatations :

Vous vous souvenez peut-être que, pour des polygones similaires, le rapport entre les côtés correspondants est toujours constant. Quelque chose de similaire fonctionne pour les cercles : le rapport entre la circonférence et le diamètre est égal pour tous les cercles . C'est toujours 3,14159… - un nombre mystérieux appelé Pi , qui est souvent écrit comme la lettre grecque π pour «p». Pi a une infinité de décimales qui durent indéfiniment sans motif spécifique :

Voici une roue de diamètre 1. En "déroulant" la circonférence, vous pouvez voir que sa longueur est exactement :

01234π

Pour un cercle de diamètre d , la circonférence est C=π×d . De même, pour un cercle de rayon r , la circonférence est

C= .

Les cercles sont parfaitement symétriques et n'ont pas de «points faibles» comme les coins d'un polygone. C'est l'une des raisons pour lesquelles ils peuvent être trouvés partout dans la nature :

Fleurs

Planètes

Des arbres

Fruit

Des bulles de savon

Et il y a tellement d'autres exemples : des arcs-en-ciel aux ondulations d'eau. Peux-tu penser en trouver d'autres ?

Il s'avère également qu'un cercle est la forme ayant la plus grande surface pour une circonférence donnée. Par exemple, si vous avez une corde d'une longueur de 100  m, vous pouvez l'utiliser pour enfermer le plus grand espace si vous formez un cercle (plutôt que d'autres formes comme un rectangle ou un triangle).

Dans la nature, des objets comme des gouttes d'eau ou des bulles d'air peuvent économiser de l'énergie en devenant circulaires ou sphériques et en réduisant leur surface.

Triangle
Square
Pentagon
Circle

Circonférence = 100 , superficie = ${area}

L'aire d'un cercle

Mais comment calculer réellement l'aire d'un cercle? Essayons la même technique que nous avons utilisée pour trouver l'aire des quadrilatères : nous coupons la forme en plusieurs parties différentes, puis les réorganisons dans une forme différente dont nous connaissons déjà l'aire (par exemple un rectangle ou un triangle).

La seule différence est que, comme les cercles sont courbes, nous devons utiliser quelques approximations :

rπr

Ici, vous pouvez voir un cercle divisé en ${toWord(n1)} coins. Déplacez le curseur pour aligner les coins sur une rangée.

Si nous augmentons le nombre de coins à ${n1} , cette forme commence à ressembler de plus en plus à un .

La hauteur du rectangle est égale au du cercle. La largeur du rectangle est égale à la du cercle. (Remarquez comment la moitié des coins face vers le bas et la moitié d'entre eux face vers le haut.)

Par conséquent, l'aire totale du rectangle est d'environ A=πr2 .

r2πr

Ici, vous pouvez voir un cercle divisé en ${toWord(n)} anneaux. Comme précédemment, vous pouvez déplacer le curseur pour «dérouler» les anneaux.

Si nous augmentons le nombre d'anneaux à ${n2} , cette forme ressemble de plus en plus à un .

La hauteur du triangle est égale au du cercle. La base du triangle est égale à du cercle. Par conséquent, l'aire totale du triangle est d'environ

A=12base×height=πr2 .

Si nous pouvions utiliser une infinité d'anneaux ou de coins, les approximations ci-dessus seraient parfaites - et elles nous donnent toutes les deux la même formule pour l'aire d'un cercle :

A=πr2 .

Calcul de Pi

Comme vous l'avez vu ci-dessus, π=3.1415926… n'est pas un simple entier, et ses chiffres décimaux continuent indéfiniment, sans motif répétitif. Les nombres avec cette propriété sont appelés nombres irrationnels , ce qui signifie que π ne peut pas être exprimé comme une simple fraction ab .

Cela signifie également que nous ne pouvons jamais écrire tous les chiffres de Pi - après tout, ils sont infiniment nombreux. Les mathématiciens anciens grecs et chinois ont calculé les quatre premiers chiffres décimaux de Pi en approximant les cercles à l'aide de polygones réguliers. Remarquez comment, lorsque vous ajoutez plus de côtés, le polygone commence à apparaître de comme un cercle :

En 1665, Isaac Newton a réussi à calculer 15 chiffres. Aujourd'hui, nous pouvons utiliser des ordinateurs puissants pour calculer la valeur de Pi avec une précision beaucoup plus élevée.

Le record actuel est de 31,4 milliards de chiffres. Un livre imprimé contenant tous ces chiffres aurait une épaisseur d'environ 400  km - c'est la hauteur à laquelle la Station spatiale internationale orbite autour de la Terre!

Bien sûr, vous n'avez pas besoin de vous rappeler que de nombreux chiffres de Pi. En fait, la fraction 227=3.142… est une bonne approximation.

Une approche pour calculer Pi utilise des séquences infinies de nombres. Voici un exemple qui a été découvert par Gottfried Wilhelm Leibniz en 1676:

π=41−43+45−47+49−4+…

Comme nous calculons de plus en plus de termes de cette série, toujours en suivant le même schéma, le résultat se rapprochera de plus en plus de Pi.

De nombreux mathématiciens pensent que Pi a une propriété encore plus curieuse : qu'il s'agit d'un nombre normal . Cela signifie que les chiffres de 0 à 9 apparaissent complètement au hasard, comme si la nature avait lancé un dé à 10 faces infiniment de fois, pour déterminer la valeur de Pi.

Ici, vous pouvez voir les 100 premiers chiffres de Pi. Passez sur certaines cellules pour voir comment les chiffres sont répartis.

3
.
1
4
1
5
9
2
6
5
3
5
8
9
7
9
3
2
3
8
4
6
2
6
4
3
3
8
3
2
7
9
5
0
2
8
8
4
1
9
7
1
6
9
3
9
9
3
7
5
1
0
5
8
2
0
9
7
4
9
4
4
5
9
2
3
0
7
8
1
6
4
0
6
2
8
6
2
0
8
9
9
8
6
2
8
0
3
4
8
2
5
3
4
2
1
1
7
0
6
7
9
…

Si Pi est normal, cela signifie que vous pouvez penser à n'importe quelle chaîne de chiffres, et il apparaîtra quelque part dans ses chiffres. Ici, vous pouvez rechercher le premier million de chiffres de Pi - contiennent-ils votre anniversaire?

Un million de chiffres de Pi

Search for a string of digits:
3.

Nous pourrions même convertir un livre entier, comme Harry Potter, en une très longue chaîne de chiffres (a = 01, b = 02, etc.). Si Pi est normal, cette chaîne apparaîtra quelque part dans ses chiffres - mais il faudrait des millions d'années pour calculer suffisamment de chiffres pour la trouver.

Pi est facile à comprendre, mais d'une importance fondamentale en science et en mathématiques. Cela pourrait être une raison pour laquelle Pi est devenu particulièrement populaire dans notre culture (au moins, par rapport à d'autres sujets de mathématiques):

Pi is the secret combination for the tablet in “Night at the Museum 2”.

Professor Frink (“Simpsons”) silences a room of scientists by saying that Pi equals 3.

Spock (“Star Trek”) disables an evil computer by asking it to calculate the last digit of Pi.

Il y a même un jour Pi chaque année, qui tombe soit le 14 mars, car π≈3.14 , ou le 22 juillet, car π≈227 .

Archie