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Polygones et polyèdresDes polygones

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Un polygone est une forme plate fermée qui n'a que des côtés droits. Les polygones peuvent avoir un nombre illimité de côtés et d'angles, mais les côtés ne peuvent pas être incurvés. Lesquelles des formes ci-dessous sont des polygones?

polygon-1
polygon-2
polygon-3
polygon-4
polygon-5
polygon-5_1

Nous donnons des noms différents aux polygones, selon le nombre de côtés qu'ils ont:

number-3

Triangle
3 sides

number-4

Quadrilateral
4 sides

number-5

Pentagon
5 sides

number-6

Hexagon
6 sides

number-7

Heptagon
7 sides

number-8

Octagon
8 sides

Angles dans les polygones

Chaque polygone à n côtés a également n angles internes . Nous savons déjà que la somme des angles internes dans un triangle est toujours de ° mais qu'en est-il des autres polygones?

${a1[0]}° + ${a1[1]}° + ${a1[2]}° + ${360-a1[0]-a1[1]-a1[2]}° =

${a2[0]}° + ${a2[1]}° + ${a2[2]}° + ${a2[3]}° + ${540-a2[0]-a2[1]-a2[2]-a2[3]}° =

Il semble que la somme des angles internes dans un quadrilatère soit toujours à ° - exactement la somme des angles dans un triangle. Ce n'est pas un hasard: chaque quadrilatère peut être divisé en deux triangles.

triangles-4
triangles-1
triangles-2
triangles-3

Il en va de même pour les polygones plus grands. Nous pouvons diviser un pentagone en triangles, de sorte que sa somme d'angle interne est 3×180°= °. Et nous pouvons diviser un hexagone en triangles, de sorte que sa somme d'angle interne est 4×180°= °.

Un polygone avec ${x} les côtés auront une somme d'angle interne de 180° × ${x-2} = ${(x-2)*180}°. Plus généralement, un polygone à n côtés peut être divisé en triangles. Par conséquent,

Somme des angles internes dans un n -gon =n2×180° .

Polygones convexes et concaves

Nous disons qu'un polygone est concave s'il a une section qui «pointe vers l'intérieur». Vous pouvez imaginer que cette partie a «cédé» . Les polygones qui ne sont pas concaves sont appelés convexes .

Il existe deux façons d'identifier facilement les polygones concaves: ils ont au moins un angle interne supérieur à 180° . Ils ont également au moins une diagonale située en dehors du polygone .

Dans les polygones convexes, en revanche, tous les angles internes sont inférieurs à °, et toutes les diagonales se trouvent à l' du polygone.

Lesquels de ces polygones sont concaves?

concave-1
concave-2
concave-3
concave-4
concave-5
concave-6

Polygones réguliers

Nous disons qu'un polygone est régulier si tous ses côtés ont la même longueur et tous les angles ont la même taille. Lesquelles de ces formes sont des polygones réguliers?

regular-1
regular-2
regular-3
regular-4
regular-5
regular-6

Les polygones réguliers peuvent avoir de nombreuses tailles différentes - mais tous les polygones réguliers avec le même nombre de côtés !

Nous connaissons déjà la somme de tous les angles internes dans les polygones. Pour les polygones réguliers, tous ces angles ont , nous pouvons donc calculer la taille d'un seul angle interne:

angle = = 180°×x2x=180°360°x .

Si n=3 nous obtenons la taille des angles internes d'un triangle équilatéral - nous savons déjà qu'il doit être de °. Dans un polygone régulier avec ${x} côtés, chaque angle interne est de 180° - 360°${x} = ${round(180-360/x)}°.

L'aire des polygones réguliers

Ici vous pouvez voir un polygone régulier avec ${n} côtés. Chaque côté a une longueur 1m . Essayons de calculer sa superficie!

Tout d'abord, nous pouvons diviser le polygone en ${toWord(n)} congruente, triangles

Nous connaissons déjà la de ces triangles, mais nous avons également besoin de la pour pouvoir calculer sa superficie. Dans les polygones réguliers, cette hauteur est parfois appelée apothème .

Notez qu'il y a un triangle rectangle formé par l'apothème et la moitié de la base du triangle isocèle. Cela signifie que nous pouvons utiliser la trigonométrie!

le les angles de base du triangle isocèle (appelons-les α) sont la taille des angles internes du polygone:

α=12180°360°${n}=${round(90-180/n,2)}

Pour trouver l'apothème, on peut utiliser la définition des :

tanα=oppositeadjacent=

apothem=12s×tanα=${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}m

Maintenant, l'aire du triangle isocèle est

12base×height=121m×${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}=${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

Le polygone se compose de ${toWord(n)} de ces triangles isocèles, qui ont tous la même aire. Par conséquent, l'aire totale du polygone est

A=${n}×${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}=${round(n×tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2