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Tiếng ViệtPolygones et polyèdresQuadrilatères
Dans le cours précédent, nous avons étudié de nombreuses propriétés différentes des triangles. Voyons maintenant les quadrilatères.
Un quadrilatère régulier est appelé un
Un carré est un quadrilatère avec quatre côtés égaux et quatre angles égaux .
Pour les quadrilatères légèrement «moins réguliers», nous avons deux options. Si nous voulons juste que les angles soient égaux, nous obtenons un
Un rectangle est un quadrilatère avec quatre angles égaux .
Un losange est un quadrilatère à quatre côtés égaux .
Il existe quelques autres quadrilatères, qui sont encore moins réguliers mais qui ont quand même certaines propriétés importantes:
Si les deux paires de côtés opposés sont
Si deux paires de côtés adjacents ont la même longueur, nous obtenons un cerf - volant .
Si au moins une paire de côtés opposés est parallèle, nous obtenons un trapèze .
Les quadrilatères peuvent appartenir à plusieurs de ces catégories. Nous pouvons visualiser la hiérarchie des différents types de quadrilatères sous forme de
Par exemple, chaque rectangle est également un
Pour éviter toute ambiguïté, nous utilisons généralement uniquement le type le plus spécifique.
Choisissez maintenant quatre points, n'importe où dans la case grise à gauche. Nous pouvons les connecter tous pour former un quadrilatère.
Trouvons le milieu de chacun des quatre côtés. Si nous connectons les points médians, nous obtenons
Essayez de déplacer les sommets du quadrilatère externe et observez ce qui arrive au plus petit. Il semble que ce ne soit pas n'importe quel quadrilatère, mais toujours un
Mais pourquoi est-ce le cas? Pourquoi le résultat d' un quadrilatère devrait-il toujours être un parallélogramme? Pour nous aider à expliquer, nous devons dessiner l'une des
La diagonale divise le quadrilatère en deux triangles . Et maintenant, vous pouvez voir que deux des côtés du quadrilatère interne sont en fait des
Dans le cours précédent, nous avons montré que les
On peut faire exactement la même chose avec la deuxième diagonale du quadrilatère, pour montrer que les deux paires de côtés opposés sont parallèles. Et c'est tout ce dont nous avons besoin pour prouver que le quadrilatère interne est un
Parallélogrammes
Il s'avère que les parallélogrammes ont de nombreuses autres propriétés intéressantes, autres que les côtés opposés étant parallèles. Lesquelles des six affirmations suivantes sont vraies?
Bien sûr, simplement «observer» ces propriétés ne suffit pas. Pour être sûrs qu'ils sont toujours vrais, nous devons les prouver :
Côtés et angles opposés
Essayons de prouver que les côtés et les angles opposés dans un parallélogramme sont toujours congruents.
Commencez par dessiner l'une des diagonales du parallélogramme.
La diagonale crée quatre nouveaux angles avec les côtés du parallélogramme. Les deux angles rouges et les deux angles bleus sont
Maintenant, si nous regardons les deux triangles créés par la diagonale, nous voyons qu'ils ont deux angles congrus et un côté congru . Par l'
Cela signifie que les autres parties correspondantes des triangles doivent également être congruentes: en particulier, les deux paires de côtés opposés sont congruentes et les deux paires d'angles opposés sont congruentes.
Il s'avère que l'inverse est également vrai: si les deux paires de côtés (ou angles) opposés dans un quadrilatère sont congruentes, alors le quadrilatère doit être un parallélogramme.
Diagonales
Maintenant, prouvez que les deux diagonales d'un parallélogramme se coupent en deux.
Pensons aux deux triangles jaunes générés par les diagonales:
- Nous venons de prouver que les deux côtés verts sont congruents, car ce sont des côtés opposés d'un parallélogramme. * Les deux angles rouges et les deux angles bleus sont congruents, car ce sont
.
Par l'
Maintenant, nous pouvons utiliser le fait que les parties correspondantes des triangles congrus sont également congruentes, pour conclure que
Comme précédemment, l'inverse est également vrai: si les deux diagonales d'un quadrilatère se coupent en deux, alors le quadrilatère est un parallélogramme.
Cerfs-volants
Nous avons montré ci-dessus que les deux paires d'
Le nom Kite vient clairement de sa forme: il ressemble aux cerfs-volants que vous pouvez voler dans le ciel. Cependant, de tous les quadrilatères spéciaux que nous avons vus jusqu'à présent, le cerf-volant est le seul qui peut également être
Un cerf-volant convexe
Un cerf-volant concave qui ressemble à une flèche
Vous avez peut-être remarqué que tous les cerfs-volants sont
La diagonale divise le cerf-volant en deux triangles congrus . Nous savons qu'ils sont congruents à partir de la condition
En utilisant
Cela signifie, par exemple, que la diagonale est une
Nous pouvons aller encore plus loin: si nous dessinons l'autre diagonale, nous obtenons deux triangles plus petits . Celles-ci doivent également être congruentes, en raison de la condition
Cela signifie que l' angle α doit également être le même que l' angle β . Puisqu'ils sont adjacents,
En d'autres termes, les diagonales d'un cerf-volant sont toujours
Zone de quadrilatères
Lors du calcul de l'aire des triangles dans le cours précédent, nous avons utilisé l'astuce de la convertir en
Parallélogramme
Sur la gauche, essayez de dessiner un rectangle qui a la même zone que le parallélogramme.
Pouvez-vous voir que le triangle manquant à gauche est
Zone = base × la taille
Soyez prudent lorsque vous mesurez la hauteur d'un parallélogramme: ce n'est généralement pas la même chose que l'un des deux côtés.
Trapèze
Rappelons que les trapèzes sont des quadrilatères avec une paire de côtés parallèles . Ces côtés parallèles sont appelés les bases du trapèze.
Comme précédemment, essayez de dessiner un rectangle qui a la même surface que ce trapèze. Pouvez-vous voir comment les triangles manquants et ajoutés à gauche et à droite s'annulent?
le la hauteur de ce rectangle est la
le la largeur du rectangle est la distance entre les
Comme pour les
Si nous combinons tout cela, nous obtenons une équation pour l'aire d'un trapèze avec les côtés parallèles a et c , et la hauteur h :
Cerf-volant
Dans ce cerf-volant, les deux diagonales forment la largeur et la hauteur d'un grand rectangle qui entoure le cerf-volant.
L'aire de ce rectangle est
Cela signifie que la zone d'un cerf-volant avec des diagonales d1 et d2 est
Zone =
Rhombe
Un
Cela signifie que pour trouver l'aire d'un losange, nous pouvons utiliser soit l'équation pour l'aire d'un parallélogramme, soit celle pour l'aire d'un cerf-volant:
Zone = base × hauteur =
Dans différents contextes, différentes parties d'un losange peuvent vous être attribuées (côtés, hauteur, diagonales) et vous devez choisir l'équation la plus pratique.