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Polygones et polyèdresQuadrilatères

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Dans le cours précédent, nous avons étudié de nombreuses propriétés différentes des triangles. Voyons maintenant les quadrilatères.

Un quadrilatère régulier est appelé un . Tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles sont égaux.

Un carré est un quadrilatère avec quatre côtés égaux et quatre angles égaux .

Pour les quadrilatères légèrement «moins réguliers», nous avons deux options. Si nous voulons juste que les angles soient égaux, nous obtenons un rectangle . Si nous voulons juste que les côtés soient égaux, nous obtenons un losange .

Un rectangle est un quadrilatère avec quatre angles égaux .

Un losange est un quadrilatère à quatre côtés égaux .

Il existe quelques autres quadrilatères, qui sont encore moins réguliers mais qui ont quand même certaines propriétés importantes:

Si les deux paires de côtés opposés sont parallèles , nous obtenons un parallélogramme .

Si deux paires de côtés adjacents ont la même longueur, nous obtenons un cerf - volant .

Si au moins une paire de côtés opposés est parallèle, nous obtenons un trapèze .

Les quadrilatères peuvent appartenir à plusieurs de ces catégories. Nous pouvons visualiser la hiérarchie des différents types de quadrilatères sous forme de diagramme de Venn :

Par exemple, chaque rectangle est également un , et chaque est également un cerf-volant. Un losange est un carré et un rectangle est un trapèze.

Pour éviter toute ambiguïté, nous utilisons généralement uniquement le type le plus spécifique.

Choisissez maintenant quatre points, n'importe où dans la case grise à gauche. Nous pouvons les connecter tous pour former un quadrilatère.

Trouvons le milieu de chacun des quatre côtés. Si nous connectons les points médians, nous obtenons .

Essayez de déplacer les sommets du quadrilatère externe et observez ce qui arrive au plus petit. Il semble que ce ne soit pas n'importe quel quadrilatère, mais toujours un !

Mais pourquoi est-ce le cas? Pourquoi le résultat d' un quadrilatère devrait-il toujours être un parallélogramme? Pour nous aider à expliquer, nous devons dessiner l'une des diagonales du quadrilatère d'origine.

La diagonale divise le quadrilatère en deux triangles . Et maintenant, vous pouvez voir que deux des côtés du quadrilatère interne sont en fait des de ces triangles.

Dans le cours précédent, nous avons montré que les segments médians d'un triangle sont toujours parallèles à sa base. Dans ce cas, cela signifie que ces deux côtés sont parallèles à la diagonale - ils doivent donc également être .

On peut faire exactement la même chose avec la deuxième diagonale du quadrilatère, pour montrer que les deux paires de côtés opposés sont parallèles. Et c'est tout ce dont nous avons besoin pour prouver que le quadrilatère interne est un parallélogramme .

Parallélogrammes

Il s'avère que les parallélogrammes ont de nombreuses autres propriétés intéressantes, autres que les côtés opposés étant parallèles. Lesquelles des six affirmations suivantes sont vraies?

The opposite sides are congruent.
The internal angles are always less than 90°.
The diagonals bisect the internal angles.
The opposite angles are congruent.
Both diagonals are congruent.
Adjacent sides have the same length
The two diagonals bisect each other in the middle.

Bien sûr, simplement «observer» ces propriétés ne suffit pas. Pour être sûrs qu'ils sont toujours vrais, nous devons les prouver :

Côtés et angles opposés

Essayons de prouver que les côtés et les angles opposés dans un parallélogramme sont toujours congruents.

Commencez par dessiner l'une des diagonales du parallélogramme.

La diagonale crée quatre nouveaux angles avec les côtés du parallélogramme. Les deux angles rouges et les deux angles bleus sont des angles alternés , donc ils doivent chacun être .

Maintenant, si nous regardons les deux triangles créés par la diagonale, nous voyons qu'ils ont deux angles congrus et un côté congru . Par l' Condition de congruence , les deux triangles doivent être congruents.

Cela signifie que les autres parties correspondantes des triangles doivent également être congruentes: en particulier, les deux paires de côtés opposés sont congruentes et les deux paires d'angles opposés sont congruentes.

Il s'avère que l'inverse est également vrai: si les deux paires de côtés (ou angles) opposés dans un quadrilatère sont congruentes, alors le quadrilatère doit être un parallélogramme.

Diagonales

Maintenant, prouvez que les deux diagonales d'un parallélogramme se coupent en deux.

Pensons aux deux triangles jaunes générés par les diagonales:

  • Nous venons de prouver que les deux côtés verts sont congruents, car ce sont des côtés opposés d'un parallélogramme. * Les deux angles rouges et les deux angles bleus sont congruents, car ce sont .

Par l' Condition , les deux triangles jaunes doivent donc également être congruents.

Maintenant, nous pouvons utiliser le fait que les parties correspondantes des triangles congrus sont également congruentes, pour conclure que AM = CM et BM = DM . En d'autres termes, les deux diagonales se croisent à leur milieu.

Comme précédemment, l'inverse est également vrai: si les deux diagonales d'un quadrilatère se coupent en deux, alors le quadrilatère est un parallélogramme.

Cerfs-volants

Nous avons montré ci-dessus que les deux paires d' côtés d'un parallélogramme sont congruents. Dans un cerf-volant, deux paires de côtés adjacents sont congruentes.

Le nom Kite vient clairement de sa forme: il ressemble aux cerfs-volants que vous pouvez voler dans le ciel. Cependant, de tous les quadrilatères spéciaux que nous avons vus jusqu'à présent, le cerf-volant est le seul qui peut également être concave : s'il a la forme d'une fléchette ou d'une flèche:

Un cerf-volant convexe

Un cerf-volant concave qui ressemble à une flèche

Vous avez peut-être remarqué que tous les cerfs-volants sont . L' axe de symétrie est l' .

La diagonale divise le cerf-volant en deux triangles congrus . Nous savons qu'ils sont congruents à partir de la condition SSS : les deux triangles ont trois côtés congruents (rouge, vert et bleu).

En utilisant CPOCT , nous savons donc que les angles correspondants doivent également être congruents.

Cela signifie, par exemple, que la diagonale est une des deux angles à ses extrémités.

Nous pouvons aller encore plus loin: si nous dessinons l'autre diagonale, nous obtenons deux triangles plus petits . Celles-ci doivent également être congruentes, en raison de la condition SAS : elles ont les deux mêmes côtés et l'angle inclus .

Cela signifie que l' angle α doit également être le même que l' angle β . Puisqu'ils sont adjacents, les angles supplémentaires α et β doivent être de °.

En d'autres termes, les diagonales d'un cerf-volant sont toujours .

Zone de quadrilatères

Lors du calcul de l'aire des triangles dans le cours précédent, nous avons utilisé l'astuce de la convertir en . Il s'avère que nous pouvons également le faire pour certains quadrilatères:

Parallélogramme

Sur la gauche, essayez de dessiner un rectangle qui a la même zone que le parallélogramme.

Pouvez-vous voir que le triangle manquant à gauche est le triangle se chevauchant à droite? Par conséquent, l'aire d'un parallélogramme est

Zone = base × la taille

Soyez prudent lorsque vous mesurez la hauteur d'un parallélogramme: ce n'est généralement pas la même chose que l'un des deux côtés.

Trapèze

Rappelons que les trapèzes sont des quadrilatères avec une paire de côtés parallèles . Ces côtés parallèles sont appelés les bases du trapèze.

Comme précédemment, essayez de dessiner un rectangle qui a la même surface que ce trapèze. Pouvez-vous voir comment les triangles manquants et ajoutés à gauche et à droite s'annulent?

le la hauteur de ce rectangle est la côtés parallèles du trapèze.

le la largeur du rectangle est la distance entre les des deux côtés non parallèles du trapèze. C'est ce qu'on appelle le segment médian du trapèze.

Comme pour les triangles , le segment médian d'un trapèze est ses deux bases. La longueur du segment médian est la moyenne des longueurs des bases: a+c2 .

Si nous combinons tout cela, nous obtenons une équation pour l'aire d'un trapèze avec les côtés parallèles a et c , et la hauteur h :

A=h×a+c2

Cerf-volant

Dans ce cerf-volant, les deux diagonales forment la largeur et la hauteur d'un grand rectangle qui entoure le cerf-volant.

L'aire de ce rectangle est la surface du cerf-volant. Pouvez-vous voir comment chacun des quatre triangles qui composent le cerf-volant est le même que les quatre espaces à l' extérieur?

Cela signifie que la zone d'un cerf-volant avec des diagonales d1 et d2 est

Zone = 12 d1 × d2 .

Rhombe

Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés congruents. Vous vous souvenez peut-être que chaque losange est un - et aussi un - .

Cela signifie que pour trouver l'aire d'un losange, nous pouvons utiliser soit l'équation pour l'aire d'un parallélogramme, soit celle pour l'aire d'un cerf-volant:

Zone = base × hauteur = 12 d1 × d2 .

Dans différents contextes, différentes parties d'un losange peuvent vous être attribuées (côtés, hauteur, diagonales) et vous devez choisir l'équation la plus pratique.