Polygones et polyèdresTessellations
Sinaloan Milk Snake skin
Structure cellulaire des feuilles
Colonnes de basalte à la Chaussée des Géants en Irlande du Nord
Peau d'ananas
Coquille d'une tortue
Les humains ont copié bon nombre de ces modèles naturels dans l'art, l'architecture et la technologie - de la Rome antique à nos jours. Voici quelques exemples:
Serre à l'Eden Project en Angleterre
Mosaïque à l'Alhambra
Pavillon de pavage cellulaire à Sydney
Étude de la division régulière de l'avion avec des reptiles , MC Escher
Ici, vous pouvez créer vos propres pavages en utilisant des polygones réguliers. Faites simplement glisser de nouvelles formes de la barre latérale sur la toile. Quelles formes tessellent bien? Y a-t-il des formes qui ne tessellent pas du tout? Essayez de créer des motifs intéressants!
Examples of other students’ tessellations
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Pavages de polygones réguliers
Vous avez peut-être remarqué que certains
Cela a à voir avec la taille de leurs
Triangles
Carrés
Les pentagones
Hexagones
Vous pouvez également vérifier que, tout comme les pentagones, tout polygone régulier à 7 côtés ou plus n'est pas tessellé. Cela signifie que les seuls polygones réguliers qui tessellent sont des triangles, des carrés et des hexagones!
Bien sûr, vous pouvez combiner différents types de polygones réguliers dans une tessellation, à condition que leurs angles internes puissent atteindre 360°:
Squares and triangles
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°
Squares and triangles
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°
Hexagons and triangles
120° + 120° + 60° + 60° = 360°
Hexagons and triangles
120° + 60° + 60° + 60° + 60° = 360°
Hexagons, squares and triangles
120° + 90° + 90° + 60° = 360°
Octagons and squares
135° + 135° + 90° = 360°
Dodecagons (12-gons) and triangles
150° + 150° + 60° = 360°
Dodecagons, hexagons and squares
150° + 120° + 90° = 360°
Tessellations de polygones irréguliers
Nous pouvons également essayer de créer des pavages à partir de
Il s'avère que vous pouvez tesseller non seulement des triangles équilatéraux, mais n'importe quel triangle ! Essayez de déplacer les sommets de ce diagramme.
La somme des angles internes dans un triangle est de
Plus surprenant, tout quadrilatère est également pavé! Leur somme d'angle interne est de
Les pentagones sont un peu plus compliqués. Nous avons déjà vu que les pentagones réguliers
Voici trois exemples différents de pavages avec des pentagones. Ils ne sont pas réguliers , mais ce sont des polygones à 5 faces parfaitement valides.
Jusqu'à présent, les mathématiciens n'ont trouvé que 15 types de pavages différents avec des pentagones (convexes) - dont le plus récent a été découvert en 2015. Personne ne sait s'il y en a d'autres, ou si ces 15 sont les seuls…
Tessellations dans l'art
Tessellations nous à la fois un outil et une inspiration pour de nombreux artistes, architectes et designers - le plus célèbre artiste néerlandais
“Sky and Water I” (1938)
“Lizard” (1942)
“Lizard, Fish, Bat” (1952)
“Butterfly” (1948)
“Two Fish” (1942)
“Shells and Starfish” (1941)
Ces œuvres d'art ont souvent l'air amusantes et sans effort, mais les principes mathématiques sous-jacents sont les mêmes qu'auparavant: angles, rotations, translations et polygones. Si les maths ne sont pas corrects, la tessellation ne fonctionnera pas!
“Metamorphosis II” by M. C. Escher (1940)
Penrose Tilings
Toutes les pavages que nous avons vus jusqu'à présent ont une chose en commun: ils sont périodiques . Cela signifie qu'ils consistent en un motif régulier qui se répète encore et encore. Ils peuvent continuer indéfiniment dans toutes les directions et ils se ressembleront partout.
Dans les années 1970, le mathématicien et physicien britannique
Move the slider to reveal the underlying structure of this tessellation. Notice how you have the same patterns at various scales: the small yellow pentagons, blue stars, orange rhombi and green ‘ships’ appear in their original size, in a slightly larger size and an even larger size. This self-similarity can be used to prove that this Penrose tiling is non-periodic.
Penrose explorait les pavages uniquement pour le plaisir, mais il s'avère que la structure interne de certains matériaux réels (comme l'aluminium) suit un modèle similaire. Le motif a même été utilisé sur du papier toilette, car les fabricants ont remarqué qu'un motif non périodique peut être enroulé sans renflement.