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Polygones et polyèdresTessellations

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Les polygones apparaissent partout dans la nature. Ils sont particulièrement utiles si vous souhaitez carreler une grande surface, car vous pouvez assembler des polygones sans aucun espace ni chevauchement. De tels modèles sont appelés pavages .

abeille

Sinaloan Milk Snake skin

Structure cellulaire des feuilles

Colonnes de basalte à la Chaussée des Géants en Irlande du Nord

Peau d'ananas

Coquille d'une tortue

Les humains ont copié bon nombre de ces modèles naturels dans l'art, l'architecture et la technologie - de la Rome antique à nos jours. Voici quelques exemples:

Modèle de chaussée

Serre à l'Eden Project en Angleterre

Mosaïque à l'Alhambra

Toit au British Museum de Londres

Pavillon de pavage cellulaire à Sydney

Étude de la division régulière de l'avion avec des reptiles , MC Escher

Ici, vous pouvez créer vos propres pavages en utilisant des polygones réguliers. Faites simplement glisser de nouvelles formes de la barre latérale sur la toile. Quelles formes tessellent bien? Y a-t-il des formes qui ne tessellent pas du tout? Essayez de créer des motifs intéressants!

Examples of other students’ tessellations

Pavages de polygones réguliers

Vous avez peut-être remarqué que certains polygones réguliers (comme les ) se tessèlent très facilement, tandis que d’autres (comme les ) ne semblent pas du tout tesseller.

Cela a à voir avec la taille de leurs angles internes , que nous avons appris à calculer auparavant. À chaque sommet de la mosaïque, les angles internes de plusieurs polygones différents se rencontrent. Nous avons besoin de tous ces angles pour atteindre °, sinon il y aura soit un écart soit un chevauchement.

triangles

Triangles car 6 × 60° = 360°.

squares

Carrés car 4 × 90° = 360°.

pentagons

Les pentagones car les multiples de 108° ne totalisent pas 360°.

hexagons

Hexagones car 3 × 120° = 360°.

Vous pouvez également vérifier que, tout comme les pentagones, tout polygone régulier à 7 côtés ou plus n'est pas tessellé. Cela signifie que les seuls polygones réguliers qui tessellent sont des triangles, des carrés et des hexagones!

Bien sûr, vous pouvez combiner différents types de polygones réguliers dans une tessellation, à condition que leurs angles internes puissent atteindre 360°:

Squares and triangles
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°

Squares and triangles
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°

Hexagons and triangles
120° + 120° + 60° + 60° = 360°

Hexagons and triangles
120° + 60° + 60° + 60° + 60° = 360°

Hexagons, squares and triangles
120° + 90° + 90° + 60° = 360°

Octagons and squares
135° + 135° + 90° = 360°

Dodecagons (12-gons) and triangles
150° + 150° + 60° = 360°

Dodecagons, hexagons and squares
150° + 120° + 90° = 360°

Tessellations de polygones irréguliers

Nous pouvons également essayer de créer des pavages à partir de polygones irréguliers - à condition de faire attention lors de leur rotation et de leur disposition.

Il s'avère que vous pouvez tesseller non seulement des triangles équilatéraux, mais n'importe quel triangle ! Essayez de déplacer les sommets de ce diagramme.

La somme des angles internes dans un triangle est de °. Si nous utilisons chaque angle à chaque sommet de la tessellation, on obtient 360°:

Plus surprenant, tout quadrilatère est également pavé! Leur somme d'angle interne est de °, donc si nous utilisons chaque angle à chaque sommet de la mosaïque, nous obtenons 360°.

Les pentagones sont un peu plus compliqués. Nous avons déjà vu que les pentagones réguliers , mais qu'en est-il des non-réguliers?

pentagons-1
pentagons-2
pentagons-3

Voici trois exemples différents de pavages avec des pentagones. Ils ne sont pas réguliers , mais ce sont des polygones à 5 faces parfaitement valides.

Jusqu'à présent, les mathématiciens n'ont trouvé que 15 types de pavages différents avec des pentagones (convexes) - dont le plus récent a été découvert en 2015. Personne ne sait s'il y en a d'autres, ou si ces 15 sont les seuls…

Tessellations dans l'art

Tessellations nous à la fois un outil et une inspiration pour de nombreux artistes, architectes et designers - le plus célèbre artiste néerlandais MC Escher . Le travail d'Escher contient d'étranges créatures, motifs et paysages en mutation:

“Sky and Water I” (1938)

“Lizard” (1942)

“Lizard, Fish, Bat” (1952)

“Butterfly” (1948)

“Two Fish” (1942)

“Shells and Starfish” (1941)

Ces œuvres d'art ont souvent l'air amusantes et sans effort, mais les principes mathématiques sous-jacents sont les mêmes qu'auparavant: angles, rotations, traductions et polygones. Si les maths ne sont pas corrects, la tessellation ne fonctionnera pas!

“Metamorphosis II” by M. C. Escher (1940)

Penrose Tilings

Toutes les pavages que nous avons vus jusqu'à présent ont une chose en commun: ils sont périodiques . Cela signifie qu'ils consistent en un motif régulier qui se répète encore et encore. Ils peuvent continuer indéfiniment dans toutes les directions et ils se ressembleront partout.

Dans les années 1970, le mathématicien et physicien britannique Roger Penrose a découvert des pavages non périodiques - ils continuent toujours infiniment dans toutes les directions, mais ne se ressemblent jamais exactement. Ce sont des pavages Penrose , et vous n'avez besoin que de quelques types de polygones différents pour en créer un:

Move the slider to reveal the underlying structure of this tessellation. Notice how you have the same patterns at various scales: the small yellow pentagons, blue stars, orange rhombi and green ‘ships’ appear in their original size, in a slightly larger size and an even larger size. This self-similarity can be used to prove that this Penrose tiling is non-periodic.

Penrose explorait les pavages uniquement pour le plaisir, mais il s'avère que la structure interne de certains matériaux réels (comme l'aluminium) suit un modèle similaire. Le motif a même été utilisé sur du papier toilette, car les fabricants ont remarqué qu'un motif non périodique peut être enroulé sans renflement.