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Polygones et polyèdresSolides platoniciens

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Au début de ce cours, nous avons défini les polygones réguliers comme des polygones particulièrement «symétriques», où tous les côtés et les angles sont identiques. Nous pouvons faire quelque chose de similaire pour les polyèdres.

Dans un polyèdre régulier, toutes les faces sont toutes du même type de polygone régulier, et le même nombre de faces se rencontrent à chaque sommet . Les polyèdres possédant ces deux propriétés sont appelés solides platoniciens , du nom du philosophe grec Platon .

À quoi ressemblent les solides platoniciens - et combien y en a-t-il? Pour créer une forme tridimensionnelle, nous avons besoin d'au moins faces à rencontrer à chaque sommet. Commençons systématiquement par le plus petit polygone régulier: triangles équilatéraux:

Si nous créons un polyèdre où trois triangles équilatéraux se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons la forme à gauche. Il s'appelle un tétraèdre et a faces. («Tetra» signifie «quatre» en grec).

Si quatre triangles équilatéraux se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons un solide platonicien différent. Il s'appelle l' Octaèdre et a faces. ("Octa" signifie "huit" en grec. Tout comme "Octagon" signifie forme à 8 côtés, "Octaèdre" signifie solide à 8 faces.)

Si triangles se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons l' icosaèdre . Il a visages. («Icosa» signifie «vingt» en grec.)

Si triangles se rencontrent à chaque sommet, quelque chose de différent se produit: nous obtenons simplement , au lieu d'un polyèdre tridimensionnel.

Et sept triangles ou plus à chaque sommet ne produisent pas non plus de nouveaux polyèdres: il n'y a pas assez d'espace autour d'un sommet pour s'adapter à autant de triangles.

Cela signifie que nous avons trouvé solides platoniciens constitués de triangles. Passons au polygone régulier suivant: les carrés.

Si carrés se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons le cube . Tout comme les dés, il a faces. Le cube est parfois aussi appelé _hexaèdre , après le mot grec «hexa» pour «six»._

Si carrés se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons . Et comme avant, cinq carrés ou plus ne fonctionneront pas non plus.

Ensuite, essayons les pentagones réguliers:

Si pentagones se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons le Dodécaèdre . Il a faces. («Dodeca» signifie «douze» en grec.)

Comme auparavant, quatre pentagones ou plus car il n'y a pas assez d'espace.

Le prochain polygone régulier à essayer sont les hexagones:

Si trois hexagones se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons immédiatement une . Puisqu'il n'y a pas d'espace pour plus de trois, il semble qu'il n'y ait pas de solides platoniciens constitués d'hexagones.

Il en va de même pour tous les polygones réguliers à plus de six côtés. Ils ne tessellent pas, et nous n'avons certainement pas de polygones tridimensionnels.

Cela signifie qu'il n'y a que solides platoniciens! Jetons un coup d'œil à tous ensemble:

Tétraèdre

visages
sommets
arêtes

cube

visages
sommets
arêtes

Octaèdre

visages
sommets
arêtes

Dodécaèdre

visages
20 sommets
30 arêtes

Icosaèdre

visages
12 sommets
30 arêtes

Remarquez comment le nombre de faces et de sommets sont pour le cube et l'octaèdre , ainsi que pour le dodécaèdre et l'icosaèdre , tandis que le nombre d'arêtes . Ces paires de solides platoniciens sont appelées solides doubles .

Nous pouvons transformer un polyèdre en son dual, en «remplaçant» chaque face par un sommet, et chaque sommet par une face. Ces animations montrent comment:

Le tétraèdre est double avec lui-même. Puisqu'il a le même nombre de faces et de sommets, les échanger ne changerait rien.

Platon croyait que toute matière dans l'Univers se compose de quatre éléments: l'air, la terre, l'eau et le feu. Il pensait que chaque élément correspondait à l'un des solides platoniciens, tandis que le cinquième représenterait l'univers dans son ensemble. Aujourd'hui, nous savons qu'il existe plus de 100 éléments différents qui sont constitués d'atomes sphériques et non de polyèdres.

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)

Solides archimédiens

Les solides platoniciens sont des polyèdres particulièrement importants, mais il en existe d'innombrables autres.

Les solides archimédiens , par exemple, doivent encore être constitués de polygones réguliers , mais vous pouvez utiliser plusieurs types différents. Ils portent le nom d'un autre mathématicien grec, Archimède de Syracuse , et ils sont au nombre de 13:

Tétraèdre tronqué
8 faces, 12 sommets, 18 arêtes

Cuboctaèdre
14 faces, 12 sommets, 24 arêtes

Cube tronqué
14 faces, 24 sommets, 36 arêtes

Octaèdre tronqué
14 faces, 24 sommets, 36 arêtes

Rhombicuboctaèdre
26 faces, 24 sommets, 48 arêtes

Cuboctaèdre tronqué
26 faces, 48 sommets, 72 arêtes

Snub Cube
38 faces, 24 sommets, 60 arêtes

Icosidodécaèdre
32 faces, 30 sommets, 60 arêtes

Dodécaèdre tronqué
32 faces, 60 sommets, 90 arêtes

Icosaèdre tronqué
32 faces, 60 sommets, 90 arêtes

Rhombicosidodécaèdre
62 faces, 60 sommets, 120 arêtes

Icosidodécaèdre tronqué
62 faces, 120 sommets, 180 arêtes

Dodécaèdre snob
92 faces, 60 sommets, 150 arêtes

Applications

Platon avait tort de croire que tous les éléments sont constitués de solides platoniciens. Mais les polyèdres réguliers ont de nombreuses propriétés spéciales qui les font apparaître ailleurs dans la nature - et nous pouvons copier ces propriétés en science et en génie.

Radiolaria skeleton

Icosahedral virus

De nombreux virus , bactéries et autres petits organismes ont la forme d' icosaèdres . Les virus, par exemple, doivent enfermer leur matériel génétique à l'intérieur d'une coquille de nombreuses unités protéiques identiques. L'icosaèdre est le moyen le plus efficace de le faire, car il se compose de quelques éléments réguliers mais a presque la forme d'une sphère.

Buckyball molecule

Montreal Biosphere

De nombreuses molécules ont la forme de polyèdres réguliers. L'exemple le plus célèbre est C60 qui se compose de 60 atomes de carbone disposés sous la forme d'un icosaèdre tronqué .

Il a été découvert en 1985 lorsque des scientifiques ont étudié la poussière interstellaire. Ils l'ont baptisée «Buckyball» (ou Buckminsterfullerene) du nom de l'architecte Buckminster Fuller , célèbre pour la construction de bâtiments d'apparence similaire.

Fluorite octahedron

Pyrite cube

La plupart des cristaux ont leurs atomes disposés dans une grille régulière composée de tétraèdres , de cubes ou d' octaèdres . Lorsqu'elles se fissurent ou se brisent, vous pouvez voir ces formes à plus grande échelle.

Octagonal space frames

Louvre museum in Paris

Les tétraèdres et les octaèdres sont incroyablement rigides et stables, ce qui les rend très utiles dans la construction . Les cadres spatiaux sont des structures polygonales qui peuvent supporter de grands toits et des ponts lourds.

Football

Polygonal role-playing dice

Les solides platoniciens sont également utilisés pour créer des dés . en raison de leur symétrie, chaque côté a la probabilité d'atterrir face vers le haut - donc les dés sont justes.

L' icosaèdre tronqué est probablement le polyèdre le plus célèbre au monde: c'est la forme du ballon de football.

Archie